viernes, 27 de mayo de 2016

Una tesis geométrica. División pentagonal del espacio (y IV)

Aquí concluye el desglose de la tesis que me ocupó de forma absoluta aquel verano del 90. De ella me vengo ocupando aquí (mucho menos que entonces) en estos últimos tiempos.

Esta parte final es un repertorio de combinaciones hechas con los romboedros penrosianos de origen pentagonal que pueden rellenar el espacio con dos piezas distintas de caras idénticas.

El catálogo que ofrezco se limita a agrupar de todas las formas posibles estos dos romboedros alrededor de una arista. El rombo único tenía dos ángulos a (agudo) y b (obtuso), y con ellos construimos cuatro triedros diferentes, aaa, aab, abb, bbb.

Además de por estos ángulos de sus caras, un triedro está definido por los diedros de las aristas. Estos diedros son cuatro posibles, todos múltiplos de 18º, a=18º, b=36º, c=54º, d=72º.

En las cuatro últimas figuras de la entrega (II) podemos ver sus huellas sobre una esfera con centro en el vértice. Son triángulos esféricos de ángulos a y b iguales a los diedros del mismo nombre.

El romboedro estirado deja dos intersecciones. Una es aaa, con todos los ángulos de valor b=36º; la otra, abb, con un ángulo b=36º y los otros dos de valor c=54º. El achatado produce por su parte el triedro bbb con tres ángulos iguales de valor d=72º, y también el aab, con un ángulo d=72º y dos a=18º.

Los diedros b y c pertenecen al poliedro estirado, a d al achatado.

Alrededor de una arista pueden agruparse ambos de diversos modos, y algunos por lo menos de ellos son compatibles con el adosado de caras de los romboedros. En el archivo (¡de toda confianza, aunque es tan pesado como yo!) que dejé en (I) están todas las combinaciones de los diedros. Una de ellas presenta diez planos de simetría, otra cinco, hay cinco con dos planos y veintiséis con uno solo, ademas de veintiuna asimétricas, con lo que se completan con otras tantas enantiomorfas (idénticas en el espejo). En total, son 75 posibilidades, aunque no hay garantía de que todas signifiquen acoplamientos, dado que son los rombos, y no únicamente los diedros, los que deben acoplarse.

Como ejemplo, con este romboedro estirado...



...puede hacerse este acoplamiento:


Y con este otro achatado...


...se hace este otro:


Finalmente, siguen algunos ejemplos de acoplamientos posibles de los triedros, y por lo tanto, de los romboedros correspondientes. De arriba abajo vamos girando el icosaedro de referencia sobre un eje horizontal. A la derecha, las caras opuestas de las que vemos a su izquierda. Comenzamos con diez diedros a:


Ocho diedros a y uno b, éste en una de sus dos posibilidades; aquí es la que corresponde al triedro aaa:


Otra vez ocho diedros a y uno b, pero ahora correspondiente al triedro abb:


Siete  diedros a y uno c, del triedro abb:


Por último, muestro una de las combinaciones posibles de cinco diedros a, uno b y uno c, existente en dos variedades enantiomorfas, por lo que la segunda se obtiene mirando la imagen en un espejo:


Una observación más: como un diedro puede corresponder a dos triedros distintos, en estas figuras se han dibujado ambas, con lo que se han obtenido 96 posibilidades de acoplamiento, aunque, repito, no todas son posibles para los rombos aunque lo sean para los diedros. Depurarlas exige un estudio figura a figura que está por hacer. Quienes hayan construido los poliedros y diedros pueden "entretenerse" en ello.

Y habría también que comprobar los acoplamientos alrededor de un vértice, que seguramente pueden obtenerse encajando entre sí algunas de estas figuras.

Queda la infinita exploración de cómo extender la red a partir de una figura. Para eso, lo ideal sería construir (industrialmente) los romboedros en serie en un material más sólido, como la madera. Podrían colorearse de modo diferente las dos formas y hasta obtener esculturas muy variadas.

A las ondas y a las redes inalámbricas confío estas sugerencias.

Nada mas, aunque aún publicaré enlaces a las conclusiones e índices.


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