Perspectiva unificada XIII

Al Método de perspectiva unificada, cuya difusión en Internet comencé aquí, lo acompañaban algunas láminas, para mejor fijar ideas y experiencias.

Las primeras láminas son recortables, "modelos para armar". Para que, como ocurre con el libro de Julio Cortázar, donde el lector deja de serlo para convertirse en una parte activa que va destejiendo imagen tras imagen, frase tras trase, con el fin de descubrir el hilo conductor del relato y así dar forma y figura a los personajes del espacio literario, en este otro libro el disfrute será manejar los modelos en el espacio físico, sin dejarlos morir nebulosamente en un estrecho y olvidadizo reducto mental.

La fuerza de los modelos tangibles nos suele empujar (no creo ser un caso único) a pasar de la idea al acto, y en este caso del desarrollo plano al cuerpo en el espacio. Es este un estimulante proceso circular (¿dialéctico?) de ida y vuelta entre el sólido en su entorno y sus representaciones planas.

Un ejemplo es el mapa Dymaxion que, por la mínima deformación que se produce al proyectar la esfera sobre sus veinte caras triangulares, tanto desplegado como en su transformación poliédrica deja ver un planeta más acorde con la forma real de las masas continentales que la mayoría de los mapas globales.

Desplegado, nos enseña mejor que cualquier otro mapamundi la forma de los continentes, su dimensión relativa sin deformaciones sensibles y las rutas continentales entre los diferentes lugares, mostrando la longitud real de las distancias a recorrer. Si al montar el icosaedro obtenemos algo muy parecido a la esfera terrestre, en el mapa extendido vemos instantáneamente la magnitud real del Océano Ártico, que en otros mapas no se percibe, en relación con la Antártida y con el resto de las masas terrestres. La costa siberiana no es tan larga como nos parecía.

Esto funciona razonablemente bien porque icosaedro y dodecaedro, sólidos de superficie desarrollable, aproximan muy bien la esfera, que no lo es. Pero en cambio no pueden acoplarse entre ellos, como ocurre con el cubo, para llenar uniformemente el espacio. Por eso, para mis propósitos analíticos, y luego proyectivos, del espacio cartesiano --continuo, homogéneo, isótropo-- no me resultaban útiles.

Alguna vez me propuse extender el estudio del cubo y sus simetrías a estos poliedros, para obtener sus huellas en el infinito. El cubo tiene trece ejes de simetría (seis binarios, cuatro ternarios y tres cuaternarios), con otros tantos puntos del infinito, pero el dodecaedro tiene treinta y uno: quince binarios, diez ternarios y seis quinarios. Si habíamos imaginado aquellos trece puntos límite como otros tantos astros proyectados en el firmamento, la constelación del dodecaedro sería aún más espléndida, con sus ejes proyectándose en el cielo nocturno de un universo dodecaédrico. ¡Qué imagen seductora! bueno, al menos para mí...

Las intersecciones entre las caras del dodecaedro y el icosaedro producen, además del poliedro convexo, otros estrellados, creándose una maraña de caras y aristas bastante compleja. El cubo, en cambio, carece de prolongaciones estrelladas, y su simplicísima geometría lo hace idóneo para estudiar la proyectividad de su trama espacial. Aquí dejo unos sólidos para construir que ayudarán al curioso a entender el espacio que ocupamos y compararlo con el que vemos

Las imágenes I, II y III que siguen corresponden a los desarrollos de sólidos tetraédricos resultantes de cortar, por un plano próximo a un vértice, un ortoedro, un cubo y un paralelepípedo oblicuo. Los cuadriláteros dibujados en el vértice responden a la forma y proporción de los respectivos poliedros. Las líneas discontinuas son las intersecciones con planos que en el cubo son de simetría, pero no necesariamente en otros paralelepípedos.

IV y V: desarrollos del ortoedro y el paralelepípedo oblicuo, señalando en ambos el plano que los corta.

VI: lo mismo para el cubo, con la huella del plano de corte señalada sobre su desarrollo.

VII: el plano de corte y sus intersecciones con los planos de simetría que contienen a un vértice. La figura está pensada para plegarla por la mitad y poder observarla desde ambas caras.

VIII: este es el tetraedro que se puede acoplar sobre la figura anterior.

 
IX: a continuación, los puntos límite y horizontes que correponden a todos los ejes y planos del cubo.

X y XI son las dos partes en que el plano corta al cubo, para comprobar las coincidencias con ambas caras del plano de intersección.

XII y XIII: aquí se han añadido las huellas de los planos de simetría sobre la superficie del cubo.

 
XIV y XV: en estas dos figuras el cubo se divide por el punto de vista y uno de sus planos de simetría.

XVI: aquí quedarán a la vista todos los ejes y planos de simetría:

XVII: otra sección por el punto de vista.

XVIII: una parte del cubo en que se cortan todos los ejes y planos de simetría. ¿Veis en el corte la proyección plana de los elementos del infinito?

XIX: la otra parte del cubo seccionado, en que vemos la misma proyección de elementos límite desde el otro semiespacio.

 
Si construís las figuras y buscáis cómo se acoplan entre sí entenderéis de un vistazo lo que ocultan, con su prolijidad, la mayoría de las representaciones perspectivas, con sus construcciones casuísticas que ocultan la gran unidad de todo el mecanismo proyectivo.

Aún quedan una cuantas láminas. Espero que sean divertidas.

(sigue)