El Cabrero

Por varias razones, José Domínguez Muñoz, El Cabrero, es un personaje singular. No es habitual ver cómo, a pesar de su actividad artística, sus giras y el contacto con el mundo de la cultura, sigue siendo un auténtico cabrero.

Pero permanecer cabrero no lo convierte, en absoluto, en rústico. Se puede afirmar que su vida es un tenso compromiso (¿dialéctico?) entre dos polos que pocos llegan a armonizar como él lo hace. Su pueblo y sus cabras tiran de él, por un lado. El arte flamenco, con su proyección universal, por otro.

Si contrapongo a su pueblo el universo, puedo dar también a estas palabras un significado que las unifica: Pueblo Trabajador, pueblo universal. Una  clase "en sí" (y que ojalá se identifique mejor, "para sí") no circunscrita a un territorio, potencialmente capaz de convertir el amor a las propias raíces en solidaridad planetaria.

Su voz poderosa se expresa con vigor y pureza en los cantes tradicionales, pero no desdeña un soneto de Borges. De las dos cosas encontraréis ejemplos en esta grabación, de hace ya algún tiempo.

Este vídeo homenaje conmemoraba cuarenta años como cantaor:



En las imágenes y en la contundente letra de los cantes se comprueba su clara posición política ("compromiso", como suele decirse con una ligereza que seca la palabra), postura inequívoca que ha demostrado con su presencia en las fiestas del PCE y del PCA.

Por un motivo mucho más inocuo que la política, pero que era un hecho político en sí, El Cabrero fue a la cárcel. Era un tiempo incierto (¿pero acaso no lo es el de ahora mismo?), al año siguiente del golpe ¿de Tejero? Las circunstancias las detalla esta noticia de prensa, ejemplo de la pervivencia nacionalcatólica en la judicatura, que todavía padecemos de vez en cuando.

En este lugar su compañera Elena Bermúdez cuenta sus reflexiones al salir de la cárcel y su consecuente actitud posterior, que lo mantuvo y lo mantiene alejado del espectáculo mediático. Esta entrevista lo retrata bien.

Y para no hacer más hagiografía, remato con este vídeo desmitificador:



Una broma, pero es una broma muy bien cantada.

La expresión gráfica en la ingeniería (1-b)

Todo lo que tiene forma puede ser representado gráficamente

Continua y finaliza aquí el primer capítulo del libro Introducción a la expresión gráfica en la ingeniería, publicación iniciada en esta otra entrada.
 
A pesar de la ocasión coyuntural que lo motivó, habría querido que el libro fuera algo más que un texto para aprendices de ingeniero. Quise más que nada dar salida a ideas muy básicas sobre la representación, para entender lo que subyace en la realidad visible, en lugar de elaborar, como suele hacerse en las escuelas técnicas, y no solo para esta materia, un mero instrumento auxiliar.

¿Por qué no aprovechar el conocimiento para entender, en lugar de verlo únicamente como el mecanismo que nos ponga en condiciones de entrar, como una mercancía más, en el mundo de la producción de bienes materiales?

El conocimiento debe considerarse autotélico, aunque de él puedan obtenerse luego otras ventajas. Si no lo hacemos así estaremos siempre pendientes de recompensas futuras en lugar de llenar gozosamente el presente. Este principio no representa para mí la sola reivindicación del derecho a la pereza.

Para seguir la vía natural del conocimiento hay que satisfacer primero la curiosidad. La que es natural en el niño, la que ahogamos después con un empacho de materiales amontonados de forma aparentemente organizada, pero sin organicidad.

Por eso, teniendo en cuenta que la línea, el punto en movimiento, es la base de toda representación gráfica, sea como trayectoria o como contorno, dedico esta parte del libro a buscar la comprensión inicial de la línea como trayectoria.

Hay dos formas posibles de abordar el movimiento. Puede hacerse desde una base fija, observando desde ella al móvil, o desde éste, localizando la base fija. La base es un vector, una unidad, representada por dos puntos fijos, tomados como origen y extremo. El punto móvil X puede localizarse desde ambos, o bien puede localizarlos. Habrá entonces dos formas de definir la posición, llamadas respectivamente medida y razón simple.

Si además de la base fijamos un punto de referencia en una posición arbitraria pero fija del móvil en su trayectoria, podremos comparar su razón simple con cualquiera otra, la genérica X que representa todas las posiciones posibles. Entonces localizaremos esas posiciones sobre una base de tres puntos fijos, por medio de la llamada razón doble.

La razón doble es un invariante que localiza perfectamente al punto móvil, pero su valor depende de la posición elegida para el punto de referencia. Puede este ser exterior o interior al segmento unidad. El valor más interesante que puede tomar la razón doble es -1. Ese valor fija la posición del móvil en un lugar exacto que lo relaciona con el punto de referencia, y así se establece una relación entre cuatro puntos, que forman lo que llamamos cuaterna armónica, de tal modo que al desplazar el móvil, para mantener la relación hemos de desplazar también el punto de referencia.

La cuaterna armónica es una razón de dos razones simples. Su valor unidad significa que ambas son iguales; el signo menos, que uno de los puntos es interior al segmento unidad y el otro exterior.

Si movemos el punto de referencia hasta situarlo en el centro del segmento unidad, la razón simple que le corresponde alcanza el valor -1. Para que el otro punto tienda a valor 1, cosa necesaria para mantener la cuaterna armónica, debe desplazarse infinitamente lejos.

Hagamos corresponder a cada punto de la recta otro cualquiera. A los de la cuaterna original les corresponderán biunívocamente otros cuatro puntos, a elegir arbitrariamente. El resto de los puntos de la recta original tendrán valores de la razón doble abarcando a todos los números reales, y para cada uno de ellos habrá, con idéntico valor, otro punto en la segunda recta (que en este caso es ella misma, pero podría ser otra cualquiera).

Acabamos de establecer entre ambas rectas coincidentes una correspondencia proyectiva.

Ahora vamos a establecer la misma correspondencia, pero entre dos rectas concurrentes en un punto, P en este caso. Tomamos en ambos casos las medidas reales, de modo que se mantenga entre ambas la misma razon doble. Aunque en esta reproducción las líneas más finas apenas se perciben, hemos de entender que corresponden a las longitudes marcadas entre las puntas de flecha. Podéis comprobar, por ejemplo, que el valor numérico de la razón doble en la primera recta, (ABPQ) = [(AB/AQ)·(BQ)/BP)] coincide con el de la correspondiente razón sobre la otra.

Pero además encontramos otra coincidencia muy interesante: las rectas AA', BB', CC' y DD', prolongadas desde los segmentos que las definen, pasan todas por un punto V, vértice de una relación proyectiva entre las dos series de puntos, estableciendo la correspondencia entre todos los puntos de las dos series.

En la figura inferior, sobre una de las rectas se ha definido la cuaterna entre los puntos origen O, unidad U, medio M y el punto del infinito, o impropio, U. Al proyectarlos desde V sobre la otra recta se obtiene en ella otra cuaterna armónica. Ahora M' se acerca a U', y también I' se desplaza desde el infinito para acercarse a U'. En esta proyectividad, cuanto más cercano quede M' a uno de los extremos del segmento unidad, más se acercará I' al mismo extremo, no importa cual de ellos sea el elegido, pues no hay que olvidar que por los dos extremos de la recta se llega (es un decir) al mismo punto del infinito.

Expongo a continuación todos los casos posibles de relación proyectiva, y perspectiva, entre los puntos de dos rectas. La proyectividad puede realizarse entre paralelas y oblicuas, pero además desde un punto propio o desde uno impropio ("desde el infinito", mediante paralelas). Y en este último caso, además, la proyección puede ser perpendicular u oblicua. Según los casos, la proyección puede conservar la medida, la razón simple o proporción y, en todos los casos, la razón doble y en particular la cuaterna armónica. Naturalmente, la medida conserva las proporciones, pero no es así al contrario.

El origen y el extremo del vector unidad separan armónicamente a los otros dos puntos de la cuaterna, e igualmente están separados por ellos. Como hemos visto esos puntos pueden ser el punto medio y el del infinito, y cuando se desplazan de esas posiciones ambos se aproximan al mismo extremo del vector.

En los dos casos casos podemos considerar como vector uno u otro par sin mover los puntos, como vemos en esta figura:

Si hasta aquí se ha abordado un movimiento rectilíneo y uniforme de un punto móvil, consideremos el caso general, curvilíneo de velocidad irregular, considerando los extremos de un tramo como origen y unidad. La posición del punto la determinará un parámetro (tiempo), y en tiempos iguales los recorridos podrán ser diferentes.

Casos particulares son el movimiento uniforme sobre una curva y el rectilíneo y uniforme analizado anteriormente.

Un movimiento con cambios instantáneos de velocidad puede considerarse "catastrófico", porque la variación súbita (finita) de velocidad en tiempo nulo (infinitésimo) implica un cociente infinito entre ambos, y por lo tanto aceleración infinita. Ni siquiera los choques bruscos se producen sin una deformación que "acomoda" ese cambio. Esta continuidad de las trayectorias "reales" significa que en un entorno suficientemente pequeño de cada punto las trayectorias pueden en la práctica considerarse rectilíneas. Cualquiera que dibuje una línea y quiera cambiar la dirección en un punto sabe que debe detener el movimiento en ese punto (velocidad nula). Intentad dibujar un ángulo sin frenar la mano: por más que lo intentéis el vértice se convertirá en una curva. También por esta razón escribir muy deprisa es incompatible con una caligrafía impecable.

Esta digresión aparente viene a cuento para entender mejor el concepto de continuidad. El trozo de universo que conocemos, a la escala a que lo observamos, es continuo, y tal es el espacio que podemos imaginar y representar. Por eso una malla rectilínea es el modo más adecuado de situarnos en el plano.

Las tres figuras de la parte inferior presentan tres formas de realizar esta malla. Al vector OU sobre una recta hemos añadido otro OV. Si antes dos puntos no coincidentes definían un espacio rectilíneo de infinitos puntos más (serie rectilínea), ahora dos rectas no coincidentes más que en un punto definen todo un plano de rectas (haz de rectas). Esta malla presenta una singularidad en el punto O. Se obvia desplazándolo infinitamente lejos, y nuestro plano será uniforme (euclídeo), y en ciertas condiciones isótropo (cartesiano). Si O es un punto propio, podemos empeñarnos en tratar las rectas como uniformes (figura inferior), pero con ello distorsionaremos el plano y las rectas trazadas en la malla dejarán de serlo.

La segunda figura resuelve la conservación de las rectas sobre el plano, con la condición de respetar también la singularidad en O de OU y OV.

Si una curva genérica puede aproximarse con una sucesión de tramos rectilíneos tendencialmente infinitésimos, una aproximación mayor se logra con arcos de circunferencia. Haya o no variacion de velocidad (aceleración lineal) en la trayectoria, al pasar de un arco al siguiente habrá un brusco cambio de curvatura, que supone un súbito cambio en la aceleración transversal, constante a lo largo de cada tramo. Quienes hayan experimentado algunas atracciones de feria, como el "látigo", sabrán de lo que hablo.

Lo que deben mantener los diversos tramos circulares que aproximan una curva es la tangencia, y eso significa que los centros sucesivos estén alineados con el punto de tangencia. Cuanto menor sea el ángulo de cada arco mejor será la aproximación a una curva "suave". Las curvas de enlace, radioides, de las buenas carreteras, y sobre todo de las autopistas y los ferrocarriles, son un buen ejemplo de curvas suaves.

En una curva aproximada por arcos de circunferencia hay una sucesión de centros sucesivos. Al elegir arcos que se aproximan hasta distancias infinitesimales los centros lo harán también, trazando una línea de centros instantáneos llamada evoluta.

Si consideramos las longitudes de los arcos y los "enderezamos", sustituyéndolos por segmentos de recta de la misma longitud, los puntos que sucesivamente vamos trasladando describen curvas llamadas evolventes. Una evolvente se puede obtener ennrollando un hilo a la curva y desenrollándolo bien estirado. Cada punto va siendo sicesivamente centro de giro, y a continuación describe una nueva evolvente. Se comprende así que todas estas evolventes tengan a la curva como evoluta.

Tomando como centros puntos de la evoluta pueden obtenerse muy buenas aproximaciones de la curva. La elipse de la última figura se obtuvo con solo seis centros, y resultó práctivamente indistinguible de la verdadera elipse.

Cuando un arco de la curva se enlaza con un segmento rectilíneo, el correspondiente centro de curvatura emigra al infinito, y se habla de curvatura nula. La curvatura, también en este caso, es la magnitud inversa del radio. A menor radio, mayor curvatura, y viceversa.

The line of Beauty es una expresión de William Hogarth, con la que afirmaba la superioridad estética de la curva sobre la recta. En particular son muy bellas aquellas líneas en que se invierte la curvatura, pasando por curvatura nula al cambiar de signo su expresión numérica. La del ejemplo que sigue es algo tosca, pero desde el perfil de un cisne hasta la espalda de una diosa encontramos abundantes ejemplos.

Cuanto más puntos elijamos, mejor será la aproximación. La evoluta huye al infinito y vuelve por el otro lado.

Un ejemplo:

Los puntos elegidos para la aproximación:

Primera aproximación mediante segmentos de recta:

Aproximación por medio de arcos. Como en la imagen casi se han perdido los radios, os invito a encontrarlos. ¿En qué casos hay tangencia y en cuáles no? ¿Hay tramos rectos y centros en el infinito?

Para finalizar, una aplicación al dibujo industrial:

No quiero abandonar el tema sin un comentario final.

Como me recordó una amiga hace poco, "el conocimiento la pasión no quita", y viceversa. El análisis geométrico y aún aritmético de las formas que podemos percibir a nuestro alrededor no le sobra desde luego al técnico, pero tampoco al artista plástico, que podrá entender la sutileza de su materia prima. Si el técnico es un artista, o el artista trabaja con elementos técnicos, como ocurre en los campos de la arquitectura y el diseño, mucho mejor.

Pero también la práctica del dibujo manual, el conocimiento de las palancas óseas que movilizamos al dibujar curvas a diferentes escalas (dedos, mano, antebrazo, brazo, y si es preciso el cuerpo entero) y la comparación analítica de lo que estamos haciendo con lo que queríamos hacer, es una beneficiosa experiencia para cualquiera.

A poco que lo pensemos extenderemos esta idea de un saber holístico que no desdeña ningún conocimiento, a la música, a la danza, a las artes de la escena...

Lástima grande que esta idea esté fuera del campo visual de las autoridades educativas.

(sigue el segundo capítulo)

Algunas cuestiones controvertidas

Victor Ríos publicó el pasado febrero un artículo, en la sección El sermón del número 349 de El Viejo Topo, titulado Retos y dilemas frente a la crisis sistémica, en el que planteaba algunos de estos desafíos que muchas veces nos paralizan al quedar enredados, como ciervos en combate, en los cuernos del dilema:

"Un buen diagnóstico nos permitiría abordar en mejores condiciones los debates sobre las alternativas programáticas en sus distintas escalas.

• Valga un ejemplo: el que gira en torno a propuestas como la de la implantación de una Renta Básica Universal y su relación complementaria o contradictoria con otras como el reparto del empleo y el trabajo garantizado.
  

• Otro: el de los contenidos y ritmos de una transición energética basada en patrones de sostenibilidad.

• En el ámbito europeo, el de las alternativas al fracaso tanto de las actuales políticas como del modelo institucional de la Unión Europea.

• Y en el marco de cada Estado, el de la elaboración de nuevos proyectos de país que tengan en cuenta las respuestas a los dilemas anteriores y las sitúen en propuestas de conjunto y programas de acción consistentes y viables a corto y largo plazo."

Frente a estos retos las fuerzas que se reclaman "del cambio", o "transformadoras" para eludir otro dilema más antiguo, el de "reforma o revolución", no acaban de tener claro "qué hacer", y mucho menos "por dónde empezar", pregunta con que Lenin finalizaba su libro, verdadera inauguración política del pasado siglo.

Incluso cuestiones más concretas y urgentes, que obligan a definirse, como es la permanencia o no en la zona euro, se abordan con incertidumbre, y no acaban de producir suficiente consenso.

Pero bienvenidas sean estas polémicas si nos ayudan a pensar.

A mi modo de ver el nudo de la cuestión es la existencia de varios planos de análisis que van de lo puramente coyuntural a las grandes estrategias. Anclarse en uno de estos planos nos aleja de la consideración de los otros.

En el espacio, la mayor o menor cercanía a los problemas distancia a los que más los sufren de los que quedan un poco (a veces muy poco) más lejos. Refugiados enfrentados a los nacionales, inmigrantes instalados frente a los sin papeles, trabajadores con contrato fijo (hoy casi podemos considerar tales solo a los funcionarios) con intereses diferenciados de los parados y eventuales. Para terminar, los sin techo frente a todos los demás.

Con esta óptica, el ascenso social de los que pasan a sentirse clase media, pocas veces acompañado de un cambio de mentalidad, reduce la base social de los perjudicados, que tiende a ser minoritaria. Cuando el ascenso de los primeros se frena verán en estos últimos más un lastre que una base en que apoyarse.

En el tiempo se manifiesta este fenómeno en el retraso de los efectos frente a las causas que los originan. Por eso lo inmediato, también en lo temporal, importa mucho más que lo que se percibe lejano. Buscamos soluciones a corto plazo que pueden conducir a largo plazo a situaciones peores. Y si esto ocurre mirando hacia el futuro, al analizar el pasado puede ocultar el origen de los problemas de ahora, y podemos creer que los anteriores tiempos de auge fueron buenos, cuando en ellos están las causas de los malos tiempos de hoy. Algunos añoran aún las políticas que condujeron a las burbujas inmobiliaria y financiera, e ingenuamente piensan que hay que volver al desarrollismo, por la vía liberal o la keynesiana.

Y en este mismo sentido, hay un gran retraso entre comprender la realidad y alterar nuestra conducta. En el plano individual (somos lo que fuimos construyendo en el pasado a lo largo de toda la vida: animales de costumbres), y también en los comportamientos colectivos. El "hombre nuevo", un anhelo que abarca desde San Pablo hasta el Che, solamente se va construyendo sobre bases sociales que para cambiar... ¡necesitan al hombre nuevo!

Estas disfunciones espacio-temporales están en la base de las controversias enunciadas más arriba. Ignorarlas es renunciar a resolverlas.

Sintetizando: si la visión cercana y estrecha produce divergencias, habrá que cultivar una más remota y amplia para lograr la convergencia. De los conflictos que estas dos perspectivas originan derivan las contradicciones que nos paralizan.

Las contradicciones "espaciales" de  que habla Víctor Ríos surgen, en el ámbito europeo o en cada estado miembro, por las desigualdades entre los entes territoriales a cualquier escala. En ambos casos se concretan en tensiones secesionistas, pero también intervienen las variables "temporales" producidas por las incertidumbres y miedos, diferentes si consideramos un plazo corto u otro mayor, sobre las consecuencias negativas de una u otra alternativa,

Claramente temporal es la indecisión sobre la ruta a seguir para afrontar el cambio climático o la transción energética sostenible. Aquí el interés inmediato entra con mucha claridad en conflicto con lo más conveniente a largo plazo, pero no hay que olvidar que en lo inmediato lo primero es sobrevivir. Claro que no basta con sobrevivir sólo en lo inmediato... y volvemos al dilema.

Esto es lo que a mi entender se debate en la disyuntiva renta básica vs. trabajo garantizado, cuyas posiciones aparecen en los enlaces que dejo al final. Si la renta básica no resuelve muchos problemas, que solamente se podrían erradicar eliminando la actual inmersión de todo lo existente en el mercado capitalista, como afirma y razona acertadamente Eduardo Garzón, la propuesta de trabajo garantizado, que ya recogí aquí,  es también problemática en las actuales condiciones políticas y sociales.

Pero no veo que ambas propuestas sean excluyentes, porque las veo sucesivas y complementarias. En un primer momento. la renta básica, con todas sus limitaciones y las reacciones adaptativas con las que un sistema económico que no desaparecerá con ella provocará, puede ser una medida de choque para satisfacer las necesidades básicas de la población. Pero rápidamente un gobierno que sea capaz de implantarla deberá iniciar la vía de garantizar el trabajo, creando puestos en las áreas de servicio a la sociedad, tanto en lo asistencial (servicios como la educación, salud, cultura, atención a la dependencia...) como en la producción de bienes dirigida a satisfacer necesidades básicas. Para eso habrá que definir juiciosamente cuales son éstas, en un contexto de decrecimiento, que más vale que sea programado.

En resumen. sin olvidar lo perentorio, hay que cultivar una visión holística en medio de las reivindicaciones inmediatas. Que los áboles particularistas no nos impidan ver el bosque. El horizonte se dilata cuando ascendemos.

Dejo aquí enlaces a los artículos cuya lectura ha motivado esta entrada, ordenados cronológicamente:

13-01-2016

Entrevista al economista Daniel Raventós
“El trabajo no dignifica, dignifica la existencia material garantizada”

Nuria Alabao
CTXT

30-01-2017

Críticas a la Renta Básica Universal desde la izquierda

Eduardo Garzón lanza seis reflexiones acerca de los posibles efectos desfavorables que podría tener la Renta Básica Universal.

03-02-2017

Respuesta a Eduardo Garzón
La tentación de combatir la Renta Básica; conservar o liberar

Carlos G. Osto
Rebelión

04-02-2017

Debate / A la mierda el trabajo
La izquierda y la revolución digital

El trabajo no va a desaparecer, pero sí buena parte del empleo asalariado. Hay que promover nuevas actividades ligadas a la información y a la colaboración además de una RBU en forma de impuesto negativo de la renta

Manuel Escudero

Alejandro de la Sota. Pabellón Polideportivo

Sin que pueda atribuirlo a otro mérito que el efecto de las palabras clave en los buscadores, el artículo más frecuentado de este blog, con varios miles de visitas, se titula "balones de fútbol". Aunque el popular "esférico", como lo llamaban antes los locutores deportivos, era únicamente un pretexto para el despiece geométrico de su superficie.

Pero a escasa distancia, también con miles de visitas, lo sigue otro sobre Louis Kahn y su hermosa biblioteca de la Phillips Exeter Academy.

Este artículo arquitectónico formaba parte de un grupo de tres, en los que comentaba acertadas soluciones de esquina en tres edificios. Uno era la citada biblioteca y los otros dos construcciones deportivas: el Pabellón Municipal de los Deportes de Pontevedra y el Estadio Municipal de Pasarón, en la misma ciudad. Dado el menor renombre mundial de sus arquitectos, con independencia de sus méritos, el número de visitas de estas páginas solo llega a unos centenares.

Traigo aquí ahora, por varios motivos, de nuevo a Alejandro de la Sota y su pabellón polideportivo. En primer lugar, siguiendo un orden cronológico, por la razon afectiva de que fue mi primer profesor de proyectos, maestro que despertó en toda la promoción una idea racional y austera de lo que debe ser la arquitectura. Aquel mismo curso hubimos de proyectar un edificio semejante a este. Una segunda razón es que lo visito asiduamente, porque varias veces en semana acudo a él para mantenerme en buena forma física (dentro de lo que cabe). La tercera es que acaba de ser restaurado para devolverle su cubierta primitiva.

El edificio original, que podéis ver en el artículo enlazado, había sufrido cambios que modificaban su perfil inicial. Parte de ellos permanecen: desde el exterior ya no se ve la cubierta porque se han  construido en las esquinas cuatro gimnasios que aumentan su funcionalidad. También interiormente la cubierta se había modificado, sobreponiéndole unos dientes de sierra de aspecto industrial que la deslucían.

Ahora se ha retirado esa estructura superpuesta, recuperando el interior su aspecto inicial. Me parece oportuno mostrarla, como ejemplo de lo que debe ser una estructura espacial.

El riesgo de una cubierta tan diáfana puede ser el efecto invernadero que acumule calor bajo ella. Por ahora no lo hemos notado. El aire caliente asciende la parte más alta y no afecta a las zona de juego ni a las gradas.

Una cubierta espacial es una estructura muy ligera en relación a su peso, gracias a sus dos capas de barras unidas por otras transversales. Puede cubrir grandes superficies sin apoyos intermedios. Ahora se construyen con nudos esféricos prefabricados a los que acomenten barras tubulares; la de Alejandro de la Sota la forman perfiles metálicos soldados.

La cubierta desde el extremo oeste:

 
La cancha y las gradas, desde lo alto:

Paneles traslúcidos sobre la estructura:

Solución de esquina, desde el interior de uno de los gimnasios:

Una cubierta de este tipo, apta para cubrir un espacio rectangular, está formada por las aristas de una malla de tetraedros y octaedros. Ambos poliedros, a su vez, pueden descomponerse indefinidamente en otros tetraedros y octaedros más pequeños. Veamos el proceso, que ya hice público aquí. Si con cubos puede llenarse el espacio, con estos romboedros, que son cubos "estirados", también se puede. Y esos romboedros pueden descomponerse de varias formas:

Tanto un poliedro como el otro pueden subdividirse en otros semejantes:

Dos modos de dividir el romboedro que dan lugar a dos mallas. Nótese que si los poliedros están formados por barras rígidas, sin caras materiales, sólo la primera es indeformable:

Explosión en octaedros y tetraedros:

Otra explosión, ahora de un tetraedro truncado:

Esta última figura es interesante. Nótese que en su parte superior las caras triangulares de medio octaedro se acoplan con las de cuatro tetraedros adyacentes. Pues bien, si estos tetraedros se acoplan a su vez con otros medios octaedros y se prolonga indefinidamente la red, tendremos la estructura espacial del pabellón. Rígida, pero ligera.

En la estructura del pabellón, como pirámides egipcias, los medios octaedros tienen su base cuadrada en la capa inferior, y entre ellos pueden verse los tetraedros que los atan.

Pero bueno, lo que acabo de describir es nada más que la mitad de la estructura, que, como en un espejo, se refleja sobre la capa formada por los vértices de las pirámides. Con esto, la red entera se ha transformado en un conjunto de cubos adyacentes, rigidizados por sus diagonales. Cubos a los que, para serlo realmente, les faltan las aristas verticales.

Un buen ejemplo de arquitectura sobria y racional.

A vueltas con el Piyayo

Me recuerda una amiga de la infancia, que sabe de estas cosas, que estos tangos los interpretó José Menese hace muchos años. Encuentro este vídeo como llovido de la nube. Aquí lo dejo:



Enlaza con este penúltimo post.

La expresión gráfica en la ingeniería (1-a)

psicodiagnosticotv

Los fundamentos proyectivos de la representación

 

La historia de este libro vuelve a ser (¿cómo no?) la de una urgencia. Fue un curso en que cada fin de semana preparaba el material para las clases de la semana siguiente, a veces hasta altas horas de la noche del domingo. A mi lado, preparaba las suyas quien me acompaña desde hace tantos años (debo reconocer que mejor que yo a ella), codo con codo.

Debido a este origen apenas tiene texto, escrito en un gallego técnico de interpretación fácil para cualquier hispanohablante.

No estoy muy seguro de que el libro, tras mi marcha de la universidad, se haya seguido publicando y utilizando. Algún tiempo después de jubilarme seguía en la bibliografía recomendada, pero buscando ahora en internet no lo veo a la venta. La ficha bibliográfica existe, incluido el ISBN. El primer capítulo, en PDF, se puede descargar aquí.

Me he planteado si aportará algo traerlo al blog. Muchos de sus materiales repiten cosas ya lanzadas a estas anónimas olas hertzianas (espero que en algún caso se transformen también en ondas cerebrales), pero al ser posterior contenidos y notaciones son más sistemáticos. Hay aspectos, como el tratamiento guiado, fácil de usar, del sistema diédrico directo, que no he visto publicados. Por eso, y siendo lo último que completé sobre expresión gráfica, me decido a ponerlo a vuestra disposición.

Comienzo con un recordatorio del carácter lingüístico de la expresión gráfica, que me parece importante en estos tiempos ágrafos. Ni la escritura elaborada ni la imagen meditada son plato de consumo en la sociedad de la expresión en 140 caracteres y la imagen enlatada.

No es concebible la línea, base de la expresión, sin el punto y su movimiento. Analicemos éste:

Interacción de los puntos sobre la línea y de las líneas a través del punto. Cómo a través de diferentes formas particulares aparecen las mismas relaciones entre ellos. Con dos, tres y cuatro elementos:

De esos cuatro puntos, no alineados tres de ellos, surge una división del plano en partes. ¿Cuántas son realmente? Mirad bien los tres casos de incidencia que siguen y fijáos en las equivalencias y correspondencias entre puntos, líneas y áreas del plano que delimitan en cada figura:

Se puede establecer desde ahora que cinco puntos determinan el plano, y en él todos los demás elementos que contiene, con tal de que uno de ellos esté alineado con los otros dos pares. 

Los cuatro vértices definen siempre un cuadrilátero completo, con intersecciones entre sus lados en dos puntos más. La misma figura, cambiando la denominación de los puntos, representa planos diferentes que se corresponden entre sí. En todos hay tres cuadriláteros y cuatro triángulos, pero siempre algunos de ellos contienen un punto del infinito, porque para ir de un extremo al otro del mismo lado sin pasar por alguno de los demás puntos hay que marchar al infinito por una semirrecta y volver por otra de la misma recta:

Todos los cuadriláteros definen un plano que se puede hacer corresponder punto a punto con todos los demás. En estas figuras, cosas del pixelado de la imagen, apenas se ven las líneas diagonales de puntos que unen los vértices opuestos del cuadrado y las paralelas medias, que se corresponden con líneas de las otras figuras. Pueden trazarse considerando que tres líneas correspondientes que son paralelas en el cuadrado, en otros cuadriláteros lo siguen siendo, o bien se encuentran en algún punto común:

En los paralelogramos esas líneas son siempre paralelas:

El rombo no es más que un caso particular del anterior:

Otro caso, con el paralelogramo en otra posición:

En los trapecios algunas líneas conservan el paralelismo, que en otras se transforma en concurrencia. Aparece un horizonte que representa el infinito, y sobre él hallamos tres puntos de fuga. Un cuarto punto es el del infinito del horizonte, porque en el concurren las líneas paralelas:

En el trapezoide desaparece todo paralelismo en las líneas de la figura. El horizonte, ahora, contiene cuatro puntos de fuga:

Si en lugar de un cuadrado creamos una cuadrícula, podemos trazar otras líneas paralelas entre sí y comprobar la correspondencia con las representaciones perspectivas de la misma:

También tres puntos no alineados del plano pueden determinar representaciones perspectivas. Pero otra vez se necesita completar la terna con dos puntos más, de modo que uno de los cinco se alinee con los otros dos pares. 

Lo más simple es elegir dos puntos sobre sendos lados y unir cada uno con el vértice opuesto a él. Por la intersección de esas dos líneas, llamadas cevianas, se hace pasar otra ceviana desde el tercer vértice, que en el lado opuesto a él determina un sexto punto. Entonces queda definido el triángulo, que se puede hacer corresponder con uno equilátero, como antes el cuadrado con cualquier cuadrilátero.

Ahora los puntos de encuentro determinan un horizonte sobre el que hay seis puntos de fuga, tres para los lados y paralelas medias y otros tres para las alturas, hablando de todas estas líneas como perspectivas de un triángulo equilátero:

Puede construirse sobre esta base una malla triangular perspectiva:

Los cinco puntos que definen una perspectiva pueden situarse arbitrariamente sobre dos rectas, determinándola así en correspondencia con una malla cartesiana:

La malla cartesiana y su perspectiva:

Partimos de estos datos:

Proceso de construcción. ¿Podéis ver aquí un cuadrilátero completo?:

La construcción de los cuadriláteros unidad para las dos mallas:

Extendiendo las dos mallas:

Este proceso puede repetirse indefinidamente...

 ...y servir de base para dibujar figuras planas...

...y sus perspectivas:

Con esta sencilla mecánica establecemos las bases para la perspectiva en el plano.

(continúa, y finaliza, el capítulo primero)