Topología recreativa (III)

Con las figuras de un solo trazo se buscaba recorrer cada tramo del grafo una sola vez, sin importar repetir las encrucijadas. Un problema distinto es pasar una sola vez por todas las encrucijadas, aunque no visitemos todos los tramos del grafo.

Los poliedros convexos o estrellados (formas poliédricas "sin agujeros") son asimilables a grafos planos. Como en la topología no importa deformar las figuras con tal de mantener la continuidad de sus relaciones, los poliedros estrellados pueden deformarse hasta convertirlos en convexos. Y un poliedro convexo deformable puede ser adaptado a un plano ("sumergido en él").

Para entenderlo mejor, imaginemos que eliminamos una cara y estiramos el agujero hasta aplastarlo sobre una mesa plana. El poliedro conserva sus caras (pero falta una: ¿donde está? puede demostrase que la representa el resto infinito del plano, alrededor del grafo).

Establecida esta correspondencia, pasar por todas las encrucijadas equivale a pasar por todos los vértices del poliedro recorriendo una parte de las aristas. Si del último vértice se puede volver al primero con un solo paso habremos completado un ciclo.

Este grafo representa un dodecaedro regular con sus doce caras (contamos once y añadimos "la del infinito"), veinte vértices y treinta aristas. El ciclo de veinte vértices corresponde también a veinte aristas: diez aristas no serán visitadas.

Al recorrer este ciclo iremos dejando caras a derecha e izquierda. Nuestro camino dividirá la superficie en dos partes. Tal como hemos dibujado el recorrido dejaremos a la izquierda un recinto con seis caras, unidas por las aristas por las que no hemos pasado. A la derecha, otras seis caras: contamos cinco y... añadimos "la cara del infinito", que también dejamos a la derecha.

El plano que representa la superficie del dodecaedro ha quedado dividido en dos partes: un recinto cerrado y otro abierto, y entre ambos lo completan.

Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el grafo y el dodecaedro. Las dos tiras de pentágonos, reunidas en una sola por la arista 1-20, completarían su desarrollo.

Las propiedades del pentágono permiten construir el dodecaedro con dos tiras de papel. El nudo de corbata más simple es un plegado sucesivo de una cinta sobre ella misma formando un simple nudo. Sucesivamente se hacen seis nudos, cuidando que doblen del modo indicado en el dibujo. Pueden pegarse ambas tiras haciendo coincidir los vértices correspondientes.

Todavía queda un problema de esta serie por resolver, respondiendo a la doble pregunta: ¿es posible, para cualquier grafo, recorrer todos los tramos una sola vez? y en el caso contrario ¿habrá algún modo de estar seguro de haber pasado por todos ellos?

La solución, próximamente.

(sigue)