Una tesis geométrica. Poliedros semirregulares (III)

Esta entrega continúa la anterior de esta serie y, al hilo de compendiar los mosaicos planos semirregulares, completa y resume en cierto modo el primer tomo de la tesis, dedicado a los poliedros aislados, como extensión de los cuales aparecen los mosaicos planos.

Por eso comienzo por listar poliedros y mosaicos, utilizando para ello las fórmulas de Schläfli y ordenándolos por categorías:

Poliedros básico y dual

Sistemas en el espacio y sistema plano hexagonal (no autodual):

Fórmulas

Básico                     Dual

(x)_{y veces}                    (y)_{x veces}

Tetraedro                       (x=3), (y=3)

T(3,3,3)                   T(3,3,3)

Cubo                              (x=4), (y=3)

C(4,4,4)                   O(3,3,3,3)

Dodecaedro                   (x=5), (y=3)

D(5,5,5)                   I(3,3,3,3,3)

Mosaico hexagonal        (x=6), (y=3)

(6,6,6)                      (3,3,3,3,3,3)

Sistema del tetraedro y sistema plano cuadrado, ambos autoduales:

Tetraedro                      (x=3), (y=3)

T(3,3,3)                   T(3,3,3)

Mosaico cuadrado        (x=4), (y=4)

(4,4,4,4)                  (4,4,4,4)

   

Poliedros obtenidos por intersección del básico y el dual

Sistemas en el espacio y sistema plano hexagonal (no autodual):

Fórmulas

Básico truncado    “Polipoliedro”           Dual truncado

(y,2x.2x)                (y,x,y,x)                  (x,2y,2y)

Tetraedro                     (x=3), (y=3)

TTr(3,6,6)               O(3,3,3,3)              TTr(3,6,6)

Cubo                            (x=4), (y=3)

CT(3,8,8)                CO(3,4,3,4)            OT(4,6,6)

Dodecaedro                 (x=5), (y=3)

DT(3,10,10)            ID(3,5,3,5)              IT(5,6,6)

Mosaico hexagonal      (x=6), (y=3)

(3,12,12)                 (3,6,3,6)                 (6,6,6)

Sistema del tetraedro y sistema plano cuadrado, autoduales

Tetraedro                     (x=3), (y=3)

TTr(3,6,6)               O(3,3,3,3)               TTr(3,6,6)

Mosaico cuadrado        (x=4), (y=4)

(4,8,8)                     (4,4,4,4)                  (4,8,8)

Poliedros de intersección del básico, el dual y el romboedro correspondiente

Sistemas en el espacio y sistema plano hexagonal no (autodual):

Fórmulas

“Rombipolipoliedro”       “Gran rombipolipoliedro”

(y,4,x,4)                         (4,2y,2x)

Tetraedro                       (x=3), (y=3)

CO(3,4,3,4)                    CT(4.6.6)

Cubo                              (x=4), (y=3)

RCO(3,4,4,4)                 GRCO(4,6,8)

Dodecaedro                   (x=5), (y=3)

RID(3,4,5,4)                  GRID(4,6,10)

Mosaico hexagonal        (x=6), (y=3)

(3,4,6,4)                        (4,6,12)

Sistema del tetraedro y sistema plano cuadrado (autoduales):

Tetraedro                       (x=3), (y=3)

CO(3,4,3,4)                  CT(4.6.6)

Mosaico cuadrado         (x=4), (y=4)

(4,4,4,4)                       (4,8,8)

Poliedros achatados

Sistemas en el espacio y sistema plano hexagonal no (autodual):

Fórmula

(3,y,3,3,x)

Tetraedro                       (x=3), (y=3)

                     I(3,3,3,3,3)

Cubo                              (x=4), (y=3)

                     CA(3,3,3,3,4)

Dodecaedro                   (x=5), (y=3)

                     DA(3,3,3,3,5)

Mosaico hexagonal        (x=6), (y=3)

                     (3,3,3,3,6)

Sistema del tetraedro y sistema plano cuadrado (autoduales):

                    Tetraedro                       (x=3), (y=3)
                                           I(3,3,3,3,3)

Mosaico cuadrado         (x=4), (y=4)
                                           (3,4,3,3,4)  

Si analizamos estas fórmulas vemos que utilizan para "x" los valores 3, 4, 5, 6, en los sistemas no autoduales. En los sistemas autoduales la variable "y", se iguala a la "x", que permanecía constante en los primeros. Estas son las fórmulas generales reordenadas:

Poliedro básico:                     (x)_{y veces}

Poliedro dual:                         (y)_{x veces}

Poliedro básico truncado:      (y,2x,2x)

Poliedro dual truncado:          (x,2y,2y)

"Polipoliedro":                        (y,x,y,x)

"Rombipolipoliedro":               (y,4,x.4)

"Gran rombipolipoliedro":       (4,2y,2x)

Poliedro achatado:                 (3,y,3,3,x)

Si y=3, entonces “x” puede tomar los valores 3, 4, 5, 6.

Para y=4, “x” puede tomar únicamente el mismo valor 4.

De este modo, cuando x=y tenemos sistemas autoduales.

El sistema es plano si "x" vale 6 o bien x=y=4

No existen más mosaicos ni poliedros convexos regulares ni semirregulares.

Estas fórmulas sintéticas, implícitas en la tesis, las expongo aquí por vez primera. Ignoro si han sido publicadas antes por algún autor.

Recordaré los mosaicos que llamé "achatantes". Si los poliedros correspondientes se obtenían apiramidando algunas caras de modo que prolongasen las restantes hasta que se cortaran entre sí, igualmente habíamos procedído con los mosaicos, aunque aquí las pirámides se aplastaban contra el plano. En la figura que sigue están esos mosaicos no regulares, y también, de puntos, los romboedros del sistema, constituidos en el sistema cuadrado, una vez más, por cuadrados; y en el hexagonal, o triangular equilátero, por dobles triángulos regulares:

Estos son los básicos truncados (4,8,8) y (3,12,12):

Ahora, los correspondientes "polipoliedros planos", (4,4,4,4) y (3,6,3,6):

Duales truncados (4,8,8) y (6,6,6):

"Rombipolipoliedros planos", (4,4,4,4) y (3,4,6,4):

"Grandes rombipolipoliedros" planos: (4,8,8) y (4,6,12):

Finalmente, los achatados (3,4,3,3,4) y (3,3,3,3,6):

Obsérvese la escasa variedad  del sistema cuadrado. No tiene más que dos mosaicos semirregulares, (4,8,8) y (3,4,3,3,4), así como el tetraédrico sólo tenía el truncado (3,6,6). Esta escasa variedad es propia de las formas autoduales.

Con esto queda concluida esta recensión del primer tomo, a la espera del segundo.

Gracias por haber llegado hasta el final. En caso de no haber empezado por el origen de todo esto, o para descargar el libro, podéis volver al principio pulsando aquí.

(sigue)