El dibujo en la ingeniería (V-c)

Luego de haber planteado la transformación proyectiva de figuras planas dentro del periplo iniciado en este otro lugar, regreso al espacio para replantear en él los procedimientos ensayados.

Casi todos los estudios de perspectiva parten de nuestra realidad terrestre, con el plano horizontal y la dirección vertical privilegiados en que apoyamos nuestra pedestre experiencia. Pero este dibujo desconcertante de Escher se aleja de nuestra Tierra plana para imaginar otra realidad.

El espacio más isótropo, sin direcciones privilegiadas

Para abordarla, nos apoyaremos en los sistemas de referencia habituales, sin considerar en sus ejes ningún tipo de orientación "gravitatoria" más allá de la necesaria elección convencional.

  
Para empezar, despegaremos desde el convencional plano horizontal, en la muy convencional dirección vertical que nos aleja de él.

Si ya sabemos aplicar las transformaciones en el plano, y considerando que todas las cónicas pueden ser representaciones de una circunferencia, comenzaremos con la elipse para, dándole volumen, crear diversas imágenes de un cilindro.

Antes de proseguir, averigüemos lo que hay de cierto en llamar proyectivas a las transformaciones del plano que hemos estudiado.

Sea un plano y sobre él un cuadrado de referencia, con sus puntos propios, rectas y direcciones hacia puntos impropios. Desde un punto exterior al plano proyectamos esos elementos sobre otro plano. Si éste lo imaginamos como un cristal transparente en el que hemos dibujado la figura proyectada, y suponemos que el centro de la proyección es un ojo, no podrá ese ojo diferenciar las dos imágenes, que aparecerán como una sola.

Las direcciones que en el primer plano confluyen en el infinito se proyectan sobre el segundo como puntos propios. Y el plano paralelo al primero por el punto de vista  corta al segundo en un horizonte.

Pero la perfecta proyectividad entre dos planos (objeto e imagen) no se reproduce de igual manera si proyectamos varios "primeros planos objeto" sobre el "segundo plano imagen":

Aunque siempre puede lograrse si no exigimos que el espacio sea isótropo. Quiere esto decir que puede establecerse la correspondencia de la imagen del "segundo plano" (plano imagen) con una versión deformada, estirada o aplastada ("espacio euclídeo"), del espacio isótropo ("cartesiano").

Sin embargo, el objeto espacial así representado en una sola imagen conserva algunas características del real: la rectitud y planitud y la pertenencia de puntos a rectas y de éstas a planos. Por ello, aunque deformado, el espacio es reconocible en la imagen.

(Bueno, bueno, esto no es una novedad, porque lo mismo nos ocurre cuando en el cine nos dan una mala localidad, y a pesar de ello vemos y entendemos la película).

Ya es un paso que eso funcione para nuestra percepción, pero ahora hemos de investigar cuáles son las condiciones que pueden hacer la perspectiva mucho más real, en vez de oblicua y deformada.

Para empezar, hay un interesante teorema que demuestra lo que la intuición nos dice: que deformando el espacio lo podemos hacer proyectivo con cualquier representación que lo sea plano a plano.

Dedicaré a esto la próxima entrega. Por lo tanto...

(sigue)