Capítulo VII
Perspectivas paralelas
La perspectiva paralela, en la que las rectas que lo son en el espacio mantienen el paralelismo en la representación, suele considerarse menos realista que la perspectiva central, para la que suele reservarse el término "perspectiva", porque la experiencia visual está de acuerdo con ella, al disminuir con el aumento de la distancia el tamaño aparente de las cosas.
Sin embargo, presenta algunas ventajas por la conservación de escalas y medidas sobre las rectas, la facilidad de trazado y porque, al fin y al cabo, para los detalles sigue siendo muy real. Podemos considerar que al fijarnos en cada parte vamos desplazando el punto de vista sobre ella.
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La perspectiva en que mejor se conserva el realismo es la ortogonal, en la que el punto de vista y el detalle observado se hallan en una línea perpendicular al cuadro. En la oblicua, en la que no se da esa perpendicularidad, la observación perpendicular al cuadro ofrece una imagen distorsionada, aunque si la oblicuidad no es muy pronunciada la imagen sigue siendo reconocible.
Tanto en una como en otra, tres direcciones sobre el plano del dibujo y tres escalas definen la representación del espacio. Si este requisito no es suficiente para que la perspectiva sea ortogonal, podemos preguntarnos si en todos los casos puede representar una perspectiva oblicua. La respuesta nos la da el teorema de Pohlke. En efecto tres ejes y tres escalas definen siempre una perspectiva paralela.
Voy a dar una demostración gráfica para comprobar que puede pasarse de tal representación supuestamente oblicua al espacio representado, mediante cambios del punto de vista. Aunque a efectos prácticos, para pasar de una a otra perspectiva paralela basta construir la nueva con el mismo principio, "tres ejes y tres escalas". Siempre que no nos importe la conservación de la escala "real".
Imaginemos que las figuras que aparecen más abajo, las cuales, vistas de frente, nadie considerará representaciones adecuadas de un cubo, pueden representarlo si son observadas oblicuamente, en una dirección que todavía no conocemos.
Con esta hipótesis no comprobada, este rayo visual, para llegar al vértice oculto del "cubo", habrá atravesado una de sus caras vistas. Localicemos este punto en ella por medio de un par de coordenadas que lo sitúen en relación con la unidad.
Sobre un cubo real, situemos ese punto de entrada de nuestra vista, utilizando esas coordenadas. Esto lo podemos hacer sobre el plano de dibujo, como se muestra en las figura de la parte inferior (figura 271).
El procedimiento seguido es un cambio guiado del punto de vista.
Las flechas indican tanto las direcciones en que se mira el objeto como designan a cada una de las vistas representadas. Así que la flecha 1-2 se dirige desde la vista 1 a la vista 2. pero también nos indica que la vista 1, que representa el cubo colocado con una cara paralela al plano de dibujo, es observada desde una dirección "1" perpendicular al cuadro. Y asimismo la vista 2 representa el mismo cubo colocado en otra posición y observado también perpendicularmente en una dirección "2".
Podemos materializar estas direcciones sobre el cubo como flechas "pinchadas" sobre él. La flecha 1-2 es paralela al cuadro en la vista 1 y nos indica la dirección en que habríamos de mirar el cubo situado sobre dicha vista para ver lo que está dibujado en la vista 2. Así, la flecha 1 "pincha" el cubo perpendicularmente al cuadro en su vista, mientras la 2, representada por 1-2, es paralela a él. En la otra vista se invierte la situación.
De este modo práctico, la flecha 1-2 tiene doble lectura: relaciona las figuras 1 y 2, pero también nos dice que mirando desde ella (y ahora hay que interpretarla como "la flecha 2 que mira el objeto colocado en la posición "1") veremos lo que aparece en la vista 2. Un giro en ángulo recto del objeto situado alternativamente sobre cada una de estas vistas, rotando de una a la otra, las relaciona, invirtiendo entre ellas la perpendicularidad y el paralelismo de las flechas correspondientes.
Con este procedimiento, de rotaciones guiadas de noventa grados, podemos pasar de una vista 2 a la 3 y de esta manera comprobamos que son suficientes dos giros sucesivos en ángulo recto para colocar el objeto en la posición que "nos dé la gana".
En nuestro caso, en la vista 1 nos fijamos en la línea oblicua que une los puntos O ("vértice oculto") y P ("punto sobre cara vista"). Y mediante dos cambios del punto de vista vamos a colocar OP "de punta", perpendicular al cuadro.
Si 1-2 es perpendicular a OP en la vista 1, OP será paralela al cuadro en la vista 2. Si ahora miramos el cubo en esta nueva posición en la direccion 3, que es la de OP, en la vista 3 esta dirección será ahora perpendicular al cuadro. Esto es lo que ocurría con la hipotética dirección oblicua de las primeras figuras.
Si una vez colocado el cubo en esta posición 3 consideramos un plano perpendicular a ella, estará "de frente" en 3 y "de canto" en 2, mientras será oblicuo en 1. Si el plano lo hacemos pasar por el vértice C, cortará al cubo en un triángulo ABC.
De manera que este triángulo, como el plano que lo contiene, está de frente en la vista 3, de canto en la 2 y oblicuo en la 1. Y el lado BC estará de punta en la vista 2, puesto que en ella está en una cara "de canto", y de frente en las otras dos vistas. Si en la vista 3 al triángulo le circunscribimos una circunferencia, esta aparecerá de frente en la 3, de canto en la 2 (en ella la veremos como un segmento) y oblicua en la 1, en que la veremos como una elipse.
Como los puntos A, B y C pueden dibujarse por sus coordenadas (proporcionales a las del cubo de las vistas ortogonales) podemos localizarlas sobre el "cubo distorsionado" del principio. Tenemos ahora que comparar las dos versiones, supuestamente equivalentes, de los dos triángulos. Y también de las cónicas circunscritas correspondientes, De una de ellas ya sabemos que es una circunferencia. La otra debe ser una elipse.
En la figura 276 comparamos los dos triángulos y, a partir de la circunferencia circunscrita a uno, tratamos de localizar la elipse circunscrita al otro. En la circunferencia hemos localizado hasta diez puntos (los tres vértices A, B, C, sus opuestos A', B', C', los extremos del diámetro L-L', paralelo a AB por el centro Z y los del diámetro perpendicular K-K'. Ahora hay que situar esos puntos sobre la otra figura.
Como en la circunferencia K-K' y L-L' son diámetros perpendiculares, en la otra figura serán diámetros conjugados (se llaman así aquellos en que por los extremos de uno se pueden trazar tangentes a la elipse paralelas al otro).
La construcción de la figura 277 es una afinidad oblicua. Para entendernos fácilmente, consiste en reflejar una figura en la otra compartiendo une eje tangente a ambas y estirando la segunda en una dirección oblicua. Con esta construcción logramos obtener los ejes de la elise, y trazarla.
Colocada la elipse sobre el "cubo estirado", tratamos de considerar de qué cilindro puede ser sección. No es difícil, si mediante un cambio del punto de vista ponemos de canto la elipse que está de frente. Conocido que su eje menor coincide con el diámetro de la circunferencia, es fácil obtener el cilindro, y con él la dirección que hace coincidir ambas cónicas. Y la vista ortogonal al plano con otra oblicua.
Ahora podemos completar el puzzle. Ya sabemos desde dónde mirar la elipse para "ver" una circunferencia, y por lo tanto desde qué dirección oblicua "veremos" el "cubo oblicuo" como un "cubo ortogonal".
Queda pues garantizado que tres ejes y tres escalas definen siempre una perspectiva oblicua:
Variante de ella es la perspectiva caballera, o su variante la militar, con dos ejes perpendiculares de igual escala y uno oblicuo con otra arbitraria. Será tanto menos deforme cuanto menor sea la unidad sobre este último, afectada entonces de un "coeficiente de reducción".
La figura 285 relaciona una vista axonométrica ortogonal, aquella en que el triángulo ABC está de frente, con una vista diédrica en que el cubo se apoya en el plano de proyección. Y en la 286 el plano ABC se ha hecho coincidir con el cuadro, y sobre él se han abatido dos caras del cubo, girándolas alrededor de las trazas, intersecciones de ellas con el plano de proyección..
En la figura inferior se ha trazado un triedro trirrectángulo proyectado ortogonalmente sobre el cuadro. Abatiendo sus caras, situando en ellas la unidad de medita y volviento a reconstruirlo, tendremos la proyección ortogonal de los ejes y unidades a utilizar en una perspectiva ortogonal.
Puede comprobarse que esta perspectiva ofrece mejor aspecto que las oblicuas.
Un caso muy sencillo de construir y de medir es el de la perspectiva isométrica: tres unidades iguales sobre tres ejes ejes que formen ángulos iguales de 120º la definen. La ventaja es la sencillez de la construcción. El inconveniente es que las figuras con exceso de simetría resultan chatas y poco creíbles. Como siempre, lo improbable nos resulta sospechoso. Una perspectiva más aleatoria (esto es, más difícil de distinguir de otras también improbables, porque todas lo son por igual) parece más fácil de digerir. No sé si se venderán mucho en los sorteos de la lotería los números 00000 o 12345, aunque entren en el bombo como todos los demás.
Para terminar, si tenéis necesidad de improvisar una perpectiva oblicua creíble con tres ejes al azar y tres escalas no tan cualesquiera, debéis observar lo siguiente:
- Si proyectáis, perpendicularmente al cuadro, tres ejes del espacio ortogonales entre sí y orientados hacia él, lo más probable es que los tres ángulos que formen los ejes proyectados sean desiguales.
- El angulo menor de los formados por cada par de ejes será siempre mayor (descartamos que sea igual) a un ángulo recto. Cuanto más próximo sea, más perpendicular al cuadro será el tercer eje, y menor la escala.
- El ángulo mayor será siempre menor de 180º. Cuanto más próximo a este ángulo llano sea, más perpendicular será el plano que forma el par de ejes, y más paralelo al cuadro el tercer eje, correspondiéndole la mayor escala.
- Entonces, debemos elegir las escalas con este criterio: la mayor escala para el eje que forme menores ángulos adyacentes; la menor, para el que tenga ángulos adyacentes mayores.
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