“Tan raro como una naranja de relojería”

Por si tenéis un ratico para reflexionar.

Una queja y una observación. La deriva semántica hace de "los políticos" una categoría que reconduce a la impotencia y la inacción, porque "intervenir políticamente", valga la redundancia, ¿lo convierte a uno en "político"?

Y participar grupalmente ¿desemboca en el denostado "partidismo político"?

Aprendamos a aventar la paja sin desperdiciar el grano.

Aparte de esta obviedad para avisados, merece la pena "perder" un rato leyendo estas cosas.

Porque más vale perder un tiempo para ganar tiempo que ganar tiempo para perderlo. ¿O es al revés?

Una naranja mecánica (1971)

 

El cambio que niegan los políticos y siguen soñando los jóvenes

Luis Carlos Muñoz Sarmiento

Rebelión

Perspectiva unificada XII

Capítulo X

Modelos corpóreos
 

Aquí empezó la cosa...

...y aquí acaba. Salvo este capítulo extra, prometido, cuyas figuras pueden recortarse y componerse, modelos para ayudar a repasar los conceptos y las figuras del libro.

Para ello las páginas pueden imprimirse en tamaño A4.

Y pueden descargarse en este enlace.

El cubo, con sus tres direcciones ortogonales, con la apilabilidad infinita que las conserva y prolonga indefinidamente, es la base de la concepción cartesiana del espacio. 

Las direcciones que controla esa unidad cúbica no son únicamente esas tres ortogonales de sus aristas, sino que a ellas hay que añadir las de sus cuatro diagonales y las seis de las diagonales de sus caras. Eso nos da trece direcciones, que se proyectan al infinito en trece puntos impropios. Tal es la constelación que nos haría controlar desde el firmamento nuestro espacio, si pudiéramos materializarlos en otros tantos astros.

Y al igual que una fotografía del firmamento es su proyección plana desde un punto de vista, podremos proyectar esos trece astros sobre un plano desde un punto cualquiera y tendremos sobre él trece puntos límite para controlar el espacio.

Como esas direcciones están en el cubo en forma de sus ejes de simetría (los tres ejes cuaternarios paralelos a sus aristas, los cuatro ternarios que son sus diagonales y los seis binarios paralelos a las diagonales de sus caras), cualquier sección plana del cubo que corte a esos ejes materializará las proyecciones de los trece astros imaginarios que las gobiernan desde el infinito.

Cada sección del cubo, por lo tanto, nos proporciona un sistema de proyección central, un procedimiento para construir perspectivas, sea proyectando desde el mismo centro del poliedro, sea haciéndolo desde un vértice.

Aprenderemos entonces a cortar el cubo, pero señalando, a diferencia de la imagen que sigue, los ejes y planos de simetría que seccionamos.

Un espacio cartesiano es continuo, homogéneo e isótropo. Todos sus puntos y todas sus direcciones son equivalentes. Quiere esto decir que podemos trasladarnos de un lugar a otro y girarnos en cualquier dirección sin que cambien sus propiedades geométricas. Por eso se toma como unidad de medida. Por eso mismo elegimos, para realizar cualquier proyección, la figura del cubo, situando el punto de vista en uno de sus vértices y tomando las aristas que concurren en él como direcciones que permiten situar y proyectar los puntos principales del infinito, siendo las caras concurrentes las que proyectan los horizontes de ese espacio.

Para comenzar, no partiré del cubo, sino de un paralelepípedo cualquiera, en el que también hay aristas, diagonales de caras y diagonales interiores del propio sólido. El espacio regido será un espacio euclídeo.

Así que ese espacio euclídeo, continuo y homogéneo, pero no necesariamente isótropo viene dado por tres direcciones y tres escalas arbitrarias. El punto de vista en ese caso reflejará un espacio deformado cuya unidad es un paralelepípedo oblicuo. Construiremos una sección del mismo que corte tres aristas contiguas, cuidando de marcar las direcciones de las diagonales seccionadas:

También podemos considerar un espacio que mantenga la ortogonalidad en tres direcciones, con escalas sin embargo arbitrarias. Y también será un espacio euclídeo:

Por último, esta será la figura para proyectar un espacio cartesiano. Las tres aristas cortadas son ortogonales, y además nos aseguramos la misma escala de medida sobre ellas:

Para construir los sólidos que materializan las figuras anteriores las facilito como recortables. Empezamos por el paralelepípedo oblicuo:

Y a continuación, los otros dos sólidos:

De igual modo podemos construir los sólidos completos. Siguen los paralelepípedos oblicuo y recto que regulan los espacios euclídeos. En ambos se ha señalado la sección que corresponde al plano de proyección:

 
Por último, el cubo que mide el espacio cartesiano, Señalando también su sección por el plano del cuadro:

Este rectángulo, recortado, plegado sobre su paralela media y pegadas ambas caras, servirá para situar, como plano del cuadro, el tetraedro que forman el punto de vista, los planos que proyectan los horizontes y el propio cuadro:



Y este será el tetraedro que podemos hacer coincidir sobre él::

 
A otra escala, construiremos el plano del cuadro, pero ahora completado con todos los horizontes y los trece puntos límite:

  
Construiremos también las dos partes del cubo seccionado:

Este otro cubo cortado nos dejará ver todos los ejes y planos de simetría:

 
Construid también estas figuras para ver cómo los sólidos cortados nos proporcionan informaciones interesantes sobre las relaciones del espacio con sus proyecciones planas.

Más piezas para el puzzle:

Y otras más:

En este cubo cortado podemos apreciar muy bien los puntos de fuga que utilizamos en las proyecciones centrales:

Y aquí dejo la otra parte del cubo. Comprobad las coincidencias. Es el espacio proyectado en el espejo retrovisor. El semiespacio que no vemos hacia delante, como si un ojo pudiera ver hacia el cogote:

 
Aquí y así termina el libro. En la corta edición que hizo la universidad, y que al parecer se puede adquirir aún, lo acompañan además unas láminas que reproducen en cartulina de tamaño A4 las imágenes más ilustrativas: los recortables y las perspectivas en relieve. Me está apeteciendo ponerlas también a vuestra disposición, así que, tal vez, como una coda...

(continúa un poquito más)

Perspectiva unificada XI

Capítulo IX

 Perspectiva tridimensional

El principio de la serie está aquí.

La entrega anterior anterior, aquí.

Y el enlace para descargar este capítulo en PDF, aquí.

Aunque aún queda un capítulo de complementos, este es prácticamente el final del libro. Hemos tratado en él de escarbar en los principios rectores de las representaciones gráficas que procuran reproducir en el plano la realidad exterior a él, sintetizando aquello que las hace creíbles.

Aunque no todas las representaciones convincentes obedecen a los principios proyectivos aquí expuestos (el  objetivo de "ojo de pez" no obedece a proyecciones rectilíneas uniformes), la gran mayoría de ellas se obtiene con una óptica no deformante. En los sistemas de representación habituales no hay manera de satisfacer todos los requisitos deseados. Siempre se pierde algo. Si queremos facilitar la medida, como en el sistema diédrico de planta, alzado y perfil, se perderá la percepción tridimensional del volumen, y si se privilegia satisfacerla se complica la medición. Un sistema muy cómodo, como es el isométrico, facilita la medida pero falsea la escala y en muchas ocasiones produce imágenes poco entendibles.

Si se busca el realismo, es fundamental sentir la profundidad: lo lejano es más pequeño. Pero esa ilusión no es del todo convincente y sigue sometida al trampantojo y el engaño. La habitación de Ames y el Teatro Olímpico de Andrea Palladio (o más bien las perspectivas falsas que en él construyó Vincenzo Scamozzi) pueden servir de ejemplos.

Lo que falta a la perspectiva lineal para evitar este engaño es "ver con dos ojos". El sistema diédrico lo logra con dos vistas, nuestro sistema perceptivo lo logra con una... que también son dos, unificadas en el cerebro. Si logramos fundir (también en el cerebro, claro está) dos imágenes dibujadas en una sola podremos conseguir la ilusión de relieve. Aunque, una vez más, volveremos a engañarnos, voluntariamente.

La fotografía fue la primera forma de desplazar el dibujo "construido" de la necesidad representativa. No fue difícil pasar de la visión monocular a la binocular, lo logró el cine en relieve con filtros para separar hacia cada ojo una de las dos imágenes coincidentes.

Hace ya mucho tiempo que se inventó un sencillo instrumento óptico para producir la visión en relieve, Se llamaba ViewMaster. Mediante dos fotografías tomadas desde puntos de vista próximos, dos oculares que visualizaban cada una y un cerebro perceptor se lograba la ilusión de profundidad.

Hoy, la infografía ha logrado una realidad virtual mucho más perfeccionada. Con ello las técnicas más clásicas, como el cine en relieve y sus gafas, pierden importancia. Y no hablemos de la técnica del dibujo...

Pero considero que no podemos ni debemos confiar todo el conocimiento a las máquinas. Pueden ahorrarnos tiempo y esfuerzo, pero por eso precisamente nos debilitan la mente. Como los cines, restaurantes y hasta bancos "sin bajarse del coche" nos atrofian las piernas.

Justamente estamos reaccionando frente a esta inmovilidad, y el ejercicio físico se recomienda para preservar la salud. Hasta, venciendo las limitaciones físicas, se potencia el deporte paralímpico.

Que dibujen las máquinas no nos exime de conocer como y por qué lo hacen.

¡Ayudemos a la imagen dibujada a salir del cuadro!

"Huyendo de la crítica", Pere Borrell del Caso - Colecciónn Banco de España, Madrid,

El mecanismo visual. La imagen proyectada de los objetos sobre una superficie plana desde un único punto de vista, si cada punto visible de los mismos coincide con otro del plano de proyección, producirá el mismo efecto y dará la misma información que el objeto del espacio.

Sea un plano de proyección y tres direcciones perpendiculares entre sí que partan del punto de vista. Para representarlas hagamos tres vistas del conjunto: una frontal del plano y dos en que dicho plano está de canto, desde un lado y desde arriba. Para asegurar el triedro trirrectángulo plegamos sobre el triángulo que proyecta sobre el plano los tres triángulos rectángulos que materializarán el triedro:

Desplazemos el triedro. Supondremos que los dos puntos de vista obtenidos son los dos ojos del observador.

Proyectando un cubo desde ambos, tendremos dos imágenes desde ellos. Bastará entonces hacerlas coincidir.

Sean dos imágenes del cubo unidad.

Podemos aplicarles cualquier cambio en sus medidas por procedimientos proyectivos.

Separadas las imágenes, miremos una con cada ojo. Tal vez cueste, pero es posible.

Aplicación a un paralelepípedo:

Ampliando la imagen es más fácil de ver.

Aquí, un cubo "de alambre" y otro sólido. Para mejor separar las imágenes, intercalad una cartulina entre ambas y mirad una con cada ojo. Tratad de fundir en ambos el punto más cercano. Si es necesario, empezad desde muy cerca e id alejándoos hasta ver las figuras con nitidez.

También, con un poco de práctica y empezando desde muy cerca, intentad ver tres imágenes: la central adquirirá volumen.

Los tetraedros parecen iguales, pero si fundís en uno solo los pequeños puntos marcados dentro de las dos imágenes comprobaréis que el primero es "de alambre", y que el vértice de dentro es el más lejano. No así el segundo que puede ser sólido.

En la figura inferior, un octaedro de alambre.

El octaedro sólido, y debajo un octaedro apiramidado, que también puede obtenerse como macla de dos tetraedros. Tratad siempre de fundir el punto señalado.

Cubos truncados, de alambre y sólido; debajo, un cuboctaedro de alambre:

Cubo truncado y dos octaedros truncados:

Tratad ahora de ver el relieve de esta otra imagen. Si lo lográis veréis el interior:

Tened muy en cuenta que la distancia entre figuras no debe superar la distancia entre vuestros ojos (para los míos son unos siete centímetros). Variando la escala de la imagen, será fácil fundirlas cuando disten entre sí unos cinco centímetros, porque esa es una convergencia ocular posible sin mucho esfuerzo. Fundidlas muy cerca e id separando la cabeza hasta que las veáis con nitidez.

Tendréis así un ViewMaster de fabricación casera.

Bueno, este es casi el final. Queda un capítulo con unas figuras para construir y alguna consideración que tal vez os pueda interesar.

(finalizará, o casi)

Bertolt Brecht: la duda y la certeza

Como ocurre con todos los pares dialécticos, la duda y la certeza son momentos inseparables. Cualquier certeza es provisional, pero instalarse en la duda para no actuar es una forma cómoda (¿o muy incómoda?) de inhibirse de los problemas, incluso de los más personales. En el fondo, el que quiere inhibirse y olvidar sabe que no puede olvidar. Como quien pone obsesivamente todo su empeño en dormir no logra dormir; como el borracho sabe en el fondo que tras la alegría vendrá la resaca.

Al momento de la duda, tan posmoderno como inoperante si nos instalamos en él, debe suceder el de la decisión racional, con todas sus limitaciones, que serán menores cuanto mayor sea nuestro conocimiento.

Es lo que viene a decir un texto de José María Agüera Lorente sobre ciencia y opinión pública en democracia que finaliza así:

Es verdad que, como reconoce el profesor de investigación del CSIC Pere Puigdomenech en un artículo titulado Certezas y dudas, cada vez más se acude a los datos aportados por la investigación científica para tomar decisiones sociales y políticas. Ahora bien, ¿significa esto que la política democrática orienta sus pasos hacia el sendero de la racionalidad (ideal)? Para responder a esta pregunta debemos fijar nuestra atención en un elemento esencial del método científico: la duda. Está claro que se investiga para buscar certezas, pero no es infrecuente que en el camino tropecemos con dudas. Ahora bien, como advierte el profesor Puigdomenech: «Ante la opinión pública, esta situación puede aparecer como si hubiera alternativas igualmente válidas, lo que se amplifica sobre todo cuando, además, hay intereses en juego. (...) Al abrir este espacio de dudas se deja espacio para aparentes contradicciones, de las que pueden aprovecharse quienes tienen sus propias, y a menudo interesadas, certezas».

Y así –y valga como ejemplos tomados a vuelapluma– se puede aprovechar de ese espacio en sombras en el ágora democrática, donde campa a sus anchas la opinión pública, tanto la postura contraria a los transgénicos como los intereses de las grandes corporaciones que niegan el cambio climático. Dejarlo, pues, como un lugar en el que pugnan, con total desasimiento de la racionalidad, ideologías e intereses tiene un coste real muy superior al psíquico de vencer nuestras ilusiones cognitivas. ¿Nos podemos permitir, entonces, la ausencia de la ciencia del ámbito político?

No podemos pensar que "todo vale" y que "no hay verdad, sino solo opiniones". El relativismo posmoderno que renuncia a los "grandes relatos" renuncia de hecho a encarar el futuro. La duda es necesaria como un momento en la búsqueda de la certeza, todo lo provisional que se quiera.

La duda, paso necesario:

LOA DE LA DUDA

¡Loada sea la duda! Os aconsejo que saludéis
serenamente y con respeto
a aquel que pesa vuestra palabra como una moneda falsa.
Quisiera que fueseis avisados y no dierais
vuestra palabra demasiado confiadamente.

Leed la historia. Ved
a ejércitos invencibles en fuga enloquecida.
Por todas partes
se derrumban fortalezas indestructibles,
y de aquella Armada innumerable al zarpar
podían contarse
las naves que volvieron.

Así fue como un hombre ascendió un día a la cima inaccesible,
y un barco logró llegar
al confín del mar infinito.
¡Oh hermoso gesto de sacudir la cabeza
ante la indiscutible verdad!
¡Oh valeroso médico que cura
al enfermo ya desahuciado!

Pero la más hermosa de todas las dudas
es cuando los débiles y desalentados levantan su cabeza
y dejan de creer
en la fuerza de sus opresores.

¡Cuánto esfuerzo hasta alcanzar el principio!
¡Cuántas víctimas costó!
¡Qué difícil fue ver
que aquello era así y no de otra forma!
Suspirando de alivio, un hombre lo escribió un día en el
libro del saber.

Quizá siga escrito en él mucho tiempo y generación tras
generación
de él se alimenten juzgándolo eterna verdad.
Quizá los sabios desprecien a quien no lo conozca.
Pero puede ocurrir que surja una sospecha, que nuevas
experiencias
hagan conmoverse al principio. Que la duda se despierte.

Y que, otro día, un hombre, gravemente,
tache el principio del libro del saber.
Instruido
por impacientes maestros, el pobre oye
que es éste el mejor de los mundos, y que la gotera
del techo de su cuarto fue prevista por Dios en persona.
Verdaderamente, le es difícil
dudar de este mundo.
Bañado en sudor, se curva el hombre construyendo la casa
en que no ha de vivir.

Pero también suda a mares el hombre que construye su
propia casa.
Son los irreflexivos los que nunca dudan.
Su digestión es espléndida, su juicio infalible.
No creen en los hechos, sólo creen en sí mismos. Si llega el
caso,
son los hechos los que tienen que creer en ellos. Tienen
ilimitada paciencia consigo mismos. Los argumentos
los escuchan con oídos de espía.

Frente a los irreflexivos, que nunca dudan,
están los reflexivos, que nunca actúan.
No dudan para llegar a la decisión, sino

para eludir la decisión. Las cabezas
sólo las utilizan para sacudirlas. Con aire grave
advierten contra el agua a los pasajeros de naves
hundiéndose.

Bajo el hacha del asesino,
se preguntan si acaso el asesino no es un hombre también.
Tras observar, refunfuñando,
que el asunto no está del todo claro, se van a la cama.
Su actividad consiste en vacilar.
Su frase favorita es: «No está listo para sentencia.»
Por eso, si alabáis la duda,
no alabéis, naturalmente,
la duda que es desesperación.

¿De qué le sirve poder dudar
a quien no puede decidirse?
Puede actuar equivocadamente
quien se contente con razones demasiado escasas,
pero quedará inactivo ante el peligro
quien necesite demasiadas.
Tú, que eres un dirigente, no olvides
que lo eres porque has dudado de los dirigentes.
Permite, por lo tanto, a los dirigidos
dudar.

Bertolt Brecht

El camino hacia la certeza pasa por el conocimiento:
:

LOA AL ESTUDIO

¡Estudia lo elemental! Para aquellos
cuya hora ha llegado
no es nunca demasiado tarde.
¡Estudia el “abc”! No basta, pero
estúdialo ¡No te canses!
¡Empieza! ¡Tú tienes que saberlo todo!
Estás llamado a ser un dirigente.
¡Estudia, hombre en el asilo!
¡Estudia, hombre en la cárcel!
¡Estudia, mujer en la cocina!
¡Estudia, sexagenario!
Estás llamado a ser un dirigente.
¡Asiste a la escuela, desamparado!
¡Persigue el saber, muerto de frío!
¡Empuña el libro, hambriento! ¡Es un arma!
Estás llamado a ser un dirigente.
¡No temas preguntar, compañero!
¡No te dejes convencer!
¡Compruébalo tú mismo!
Lo que no sabes por ti,
no lo sabes.
Repasa la cuenta,
tú  tienes que pagarla.
Apunta con tu dedo a cada cosa
y pregunta: ¿Y esto, por qué?
Estás llamado a ser un dirigente.

Bertolt Brecht