Efectivamente, cada plano tangente corta a la superficie en dos rectas, siendo su intersección el punto de tangencia. De este modo, un conjunto de rectas arman una superficie curva:
Si bien no pueden obtenerse deformando la esfera de la misma manera que hacíamos en las anteriores, un cierto retorcimiento del espacio, invirtiendo la posición de las cónicas de los planos principales, permite dibujarlas.
En este enlace dejo el capítulo en PDF.
En las cuádricas elípticas el plano tangente no corta a la superficie:
Esta pantalla de radar o faro de coche antiguo es un paraboloide elíptico. Dos planos de simetría ortogonales entre sí lo cortan en dos parábolas. Vemos que el desplazamiento de cualquiera de ellas sobre la otra lo recorre por completo:
Pues bien, demos la vuelta a la parábola móvil y repitamos la operación. Así obtenemos el paraboloide hiperbólico:
El punto común a las dos parábolas de partida es el vértice. Un triedro trirrectángulo por él estará formado por los planos de las parábolas y otro plano perpendicular a ambas. Es el plano tangente en ese punto. Corta a la superficie en dos rectas. Perpendicular a él está el eje del paraboloide. Un plano que gire sobre ese eje irá cortando a la superficie en parábolas cada vez más abiertas, hasta llegar a hacerlo en un recta y luego invertir la curvatura:
Este es el esquema par obtener esta nueva superficie. Deshacemos el cubo original, convertido en un tronco de pirámide con base infinita, retorcemos una de las horquillas invirtiéndola y sobre esta base construiremos la superficie:
Estas vistas encadenadas del esquema constructivo nos permitiran dibujar la superficie desde varios puntos de vista. Intentadlo:
Vamos ahora con el hiperboloide hiperbólico.
En la figura 9.18 de la entrega anterior se contruía el hiperboloide elíptico (de dos hojas) dibujando sus hipérbolas pincipales. Utilizando las mismas asíntotas constuiremos el hiperbólico por medio de sus hipérbolas conjugadas (ver aquí la figura 2.42):
Que son estas:
Veamos a continuación el hiperboloide de dos hojas y las hipérbolas conjugadas preparadas para recibir el de una hoja, hiperbólico o reglado:
Que es este, conjugado del anterior:
Puede comprobarse que es reglado, formado por dos familias de rectas. Las de una familia no se cortan, pero cada una de ellas corta a todas las de la otra familia:
Varias vistas encadenadas del esquema preparado para construir este hiperboloide. ¡A por él!:
Un hermoso hiperboloide (no lo juzgo como obra arquitectónica, ni para bien ni para mal ¿eh?, que eso no toca hoy) para rematar el capítulo:
El estudio matemático nos muestra que en las elípticas el plano tangente también corta a la superficie en dos rectas... ¡imaginarias conjugadas! No intentéis dibujarlas en el espacio real.
También en los cilindros y conos, que son "cuádricas degeneradas" (sin que eso las estigmatice) el plano tangente a la superficie lo es en una recta doble, y todos sus puntos lo son de tangencia.
Puestos a degenerar, el plano mismo ("plano doble") resulta de la degeneración de un cono que se aplasta, como vimos aquí.
No poseo los conocimientos necesarios para la lectura y comprensión de estas (para mí complejas) geometrías que de tanto en tanto publicas. Pero una mezcla de intuición y sentido estético hacen que disfrute de su frugal, pero potente belleza. Algo parecido a lo que experimentamos ante la contemplación de esa línea imaginaria, y no obstante real, que cielo y mar conforman y a la que denominamos horizonte.
ResponderEliminarY, de un tal Miguel del Sur, estos oportunos versos:
ResponderEliminarLíneas y figuras
extrañado observo,
me miran burlonas, del cuaderno abierto
como si tomaran tardía revancha
no haberlas querido a su debido tiempo.