esencial o menos: La expresión gráfica en la ingeniería (9-b)

La antena parabólica se parece mucho a un casquete esférico y no lo es. Cuanto más plana sea, más difícil será distinguir ambas superficies. Pero la antena tiene la capacidad de concentrar en un punto las ondas, prácticamente paralelas, que llegan de un satélite que a nuestra escala podemos considerar infinitamente alejado.

El espejo esférico, en cambio, no llega a concentrar los rayos paralelos en un punto, sino en una zona relativamente reducida, produciendo imágenes claramente borrosas (valga la contradicción) más allá de su zona central. El fenómeno se conoce como aberración esférica.

Esta superficie capaz de concentrar los rayos en un punto es un paraboloide elíptico de revolución. Se trata de una de las cuadricas elípticas que os presenté aquí, dentro del proyecto divulgativo, elaborado en su día con intención sintética, que podéis seguir desde su comienzo.

Para un estudio proyectivo de las cuádricas elípticas partiendo de deformaciones de la esfera, empezaremos con un cubo, caja que contiene una esfera inscrita en él, y estudiaremos distintas formas de distorsionar su espacio sin que pierda su carácter conservador de rectas y planos, para ver lo que ocurre a la esfera sometida a esas transformaciones.

En la entrega anterior ya habíamos estirado la caja y amelonado convenientemente la bola inicial:

Pero hay otras muchas transformaciones proyectivas del cubo, y no todas conservan el paralelismo de las caras. Así, la última figura lo convierte en una pirámide truncada:

La más sencilla es la que altera las tres dimensiones:

Manteniendo tres planos de simetría:

Para obtener el paraboloide elíptico del que la antena era un fragmento, además de convertir el cubo en una pirámide truncada llevamos su base mayor a una distancia infinita:

Y en esto se transforman los que fueran tres ejes de simetría cuaternaria del cubo:

A partir de estas vistas simplificadas del cubo transformado podremos dibujar el paraboloide:

Ahora aplastamos la caja y el paraboloide ya no será de revolución:

No tan fácil de entender, sin echarle un tanto de imaginación, es la obtención del hiperboloide elíptico de revolución. Ahora la caja cúbica traspasa el infinito hasta su mitad, y la otra mitad ¡vuelve por la retaguardia!