La expresión gráfica en la ingeniería (11-a)

Ya hemos visto superficies curvas formadas por rectas en la anterior etapa de este viaje. Era el caso de las cuádricas hiperbólicas, los paraboloides e hiperboloides reglados. Pero estas superficies no agotan el campo de las superficies regladas. Veamos como se pueden generar algunas otras.

Esta de la fotografía puede obtenerse de una forma sencilla. Voy a explicarla como imagino que pudo concebirla el artista creador.

Consideremos la esfera terrestre. El meridiano cero la divide en dos hemisferios, oriental y occidental. Conservaremos el meridiano de longitud 90º Oeste y la mitad del ecuador del hemisferio Este y eliminaremos todo lo demás. En la figura y para mi propósito, el meridiano lo representa la semicircunferencia superior y el medio ecuador la inferior.

Uno el polo Norte con el punto del ecuador de longitud 0º y construyo el segmento rectilíneo que los une. Desciendo un grado de meridiano desde el polo al tiempo que muevo también un grado hacia el Este el punto del ecuador. Uno también ambos puntos. Así, grado a grado voy desplazando el primer punto hacia el ecuador y el segundo hacia el Este sobre él, y voy construyendo la superficie reglada.

Obsérvese que el segmento que desplazamos no pasa por el centro, caso en que la superficie tendría un punto común a todas las rectas. Sería entonces un caso particular, una superficie radiada.

Charles Owen Perry

Como de costumbre dejo el capítulo a vuestra disposición en un archivo PDF, en este enlace.

Tras la introducción, paso a comentar las figuras.

Antes hemos desplazado dos puntos sobre dos líneas para fijar las posiciones sucesivas de la recta, y hemos apuntado el caso de que esta tuviera un punto fijo. Este es el caso de las superficies radiadas. Un punto es fijo y el otro se mueve sobre una línea.

En este caso la línea es una hélice, y la superficie un cono helicoidal. La vista en la dirección del eje proyecta un círculo (naturalmente, y esto vale para todas, una superficie reglada no se limita al segmento considerado, sino que se extiende hacia el infinito, más allá de los extremos de los segmentos representados).

Siendo los movimientos de los extremos del segmento independientes y arbitrarios, no basta con moverlos para definir una superficie, porque hay infinitas formas de hacerlo. Se necesita alguna condición más.

Para nuestro análisis partiremos de dos curvas planas, dos circunferencias en planos no paralelos. Sea un punto A exterior a las dos curvas sobre las que queremos movernos, y fuera de sus planos. Desde ese punto A proyectamos una de las curvas sobre el plano de la otra. Podría ocurrir que la curva proyectada (la "sombra") no cortase a la otra, pero supondremos que lo hace en dos puntos. Evidentemente, el rayo proyectante rectilíneo que pase por las intersecciones corta a las dos curvas, y podría pertenecer a una superficie reglada:

Supongamos ahora que el punto A pertenece a otra curva, una circunferencia, por ejemplo, paralela e igual a la del plano de una de las otras dos. Desde otro punto B de la misma, otra proyección (otra sombra, si los puntos son focos de luz) nos da otras dos rectas que pertenecen a la superficie reglada. Y la proyección desde otro punto C otras dos rectas generatrices:

Hacemos lo mismo desde otro punto D. La proyección nos da una elipse más alargada. Pero ¿qué ocurre al llegar al punto E?

Ahora tenemos una sola recta posible, que pertenece a la circunferencia que hemos estado proyectando, y por lo tanto la sombra se reduce a un segmento:

Reunamos en una sola figura lo hecho hasta ahora:

Si unimos los puntos alineados (los rayos proyectantes de esa sombra móvil) tendremos las generatrices de una superficie reglada, definida por tres curvas directrices:

Hemos visto con este ejemplo que tres curvas directrices pueden definir una superficie reglada. Pero también podría ocurrir que no definieran ninguna superficie real. Bastaría desplazar la circunferencia intermedia fuera del cilindro definido por las otras dos para hacer esto evidente: no habría posibilidad alguna de trazar rectas que las cortaran a las tres: la sombra siempre quedaría fuera de la circunferencia mayor y no la cortaría nunca.

Las superficies regladas obtenidas por tres directrices son fascinantes. No es de extrañar que hayan atraído a tantos artistas a partir del constructivismo, desde los hermanos Pevsner y Gabo en adelante. Sin olvidar a Vladimir Tatlin. 

Nuestro ejemplo es sencillo, pero nada obliga a que las curvas sean circunferencias, ni siquiera a que sean planas. Eso sí, no tenemos ninguna garantía de que la superficie reglada exista en el espacio real en todos los casos.

Seguiremos informando...

(continúa)