La expresión gráfica en la ingeniería (y 15)

Partiendo de aquí, este libro ha llegado hasta aquí, y aquí se acaba, con un resumen de procedimientos generales para obtener intersecciones de superficies.

Las ilustraciones son defectuosas porque he perdido los archivos originales. Algo mejor se ven las imágenes en este documento PDF.

Podría decirse que una superficie en la que nada se ve no se ve. Si no hay color, luz, sombra, o algún elemento (punto, línea, mancha) que se distinga en ella, percibiremos como mucho un contorno. Y eso solamente si la figura destaca sobre un fondo que contenga otra información.

Los elementos diferentes que muestran la forma son en general "signos pictóricos", pero si faltan podemos crearlos. El hombre invisible se vuelve visible si lleva algo encima. Desnudo, lo veremos si le lanzamos pintura o dibujamos con un rotulador (si se deja) líneas en su piel.

La línea es de gran ayuda para representar superficies. Como la intersección de dos superficies es una línea, cortar la que queremos explorar por una familia de otras superficies proporciona una familia de líneas que la describen. Esto es lo que hace la tomografía (y mucho antes que ella la topografía).

La familia de superficies que se emplea en ambos casos es la más simple de todas, un haz de planos paralelos. Las curvas de nivel obtenidas dan tanta más información cuanto más cercanos estén los planos, y tanto mejor cuanto más uniformemente repartidos. Lo vemos en esta cara que parece ser una mascarilla vaciada en yeso. Las curvas más próximas señalan claramente mayor inclinación respecto a los planos frontales.

Si en lugar de una superficie hay dos que se cortan, los puntos de intersección sobre cada plano del haz serán visibles como intersecciones de curvas de nivel. Porque si dos superficies se cortan en líneas, tres lo hacen en puntos.

Pero no es necesario que los planos del haz sean paralelos: esta intersección de dos conos de revolución se resuelve mediante un haz de planos cuya arista pase por sus vértices, porque cada plano cortará a los conos en rectas generatrices, y si las rectas sobre un mismo plano se cortan nos darán puntos de la intersección de los conos. Una para cada plano del haz.

Cambiando el punto de vista para tener los dos vértices en la misma visual, los planos quedan de canto. En este caso vemos que hay dos planos límite, fuera de los cuales no habrá puntos de intersección.

Pero si los ejes de los conos se cortan podemos emplear otro sistema para obtener la intersección de ambos: esferas con centro en el punto en que se cortan esos ejes cortan a los conos en circunferencias. La intersección de las que se hallan en la misma esfera proporciona dos puntos de la línea buscada.

También aquí hay esferas límite: las demasiado grandes o demasiado pequeñas producen en los conos circunferencias que no se cortan.

Para conos de ejes paralelos, planos perpendiculares a ambos: la solución clásica de las curvas de nivel. Por encima de un plano límite superior tampoco hay intersección, pero no hay un último plano inferior, y la curva de corte se prolonga infinitamente hacia abajo.

Cilindros de ejes que se cruzan: planos paralelos a ambos ejes. Intersección también encerrada entre dos planos límite.

Y si los ejes se cortan, de nuevo esferas concéntricas que los cortan a ambos en circunferencias, las cuales se cortan a su vez entre sí. Otra vez hay dos esferas límite.

El resultado es la penetración de un cilindro que perfora al otro, con dos líneas separadas (orificios de entrada y salida). Pero si ambos tienen el mismo diámetro producirán una bóveda de aristas.

Caso sencillísimo de dos cilindros de ejes paralelos:

Dos superficies de revolución de ejes que se cruzan. Elegimos una de ellas para trazar planos perpendiculares al eje. Para la otra ya no es posible obtener circunferencias. 

Si los ejes se cortan, de nuevo esferas concéntricas.

Si los ejes son paralelos, otra vez planos perpendiculares a ellos y circunferencias que se cortan.

Cuádricas de ejes paralelos: planos paralelos e intersección de cónicas.

Si los ejes no son paralelos emplearemos el mismo método, aunque será más complicado obtener las cónicas.

Y en general emplearemos el procedimiento de las curvas de nivel.

Como se ve, en cada caso hay que buscar una solución lo más simple posible, Haces de planos y esferas concéntricas son las familias de superficies a emplear en la mayoría  de los casos.

De esta forma terminaba el libro y el contenido del curso de geometría para aplicaciones de ingeniería, entendiendo este concepto en su sentido más amplio.

El libro se ha acabado. Queda por publicar un índice de todo él.