¿Podemos divertirnos con los números?

Tomad lápiz y papel y acompañadme activamente en el curioso recorrido que vamos a hacer por los números naturales. Una lectura pasiva puede aburriros, pero no será tediosa si vais haciendo lo que vais leyendo, y comprobándolo con otros números a vuestro gusto.

El cero y el uno son la base de todos los demás. La suma y el producto parten de ellos.

Porque sumando unos podemos alcanzar cualquier número (escalando de uno en uno, con mucha paciencia). Y sumando ceros a cada uno de ellos no escalamos nada.

Y multiplicar por cero anula cualquier número, porque lo sumamos cero veces, mientras multiplicar por uno lo deja como estaba, porque lo consideramos una sola vez.

La primera clasificación que haremos es la de pares e impares. Para ello necesitamos el número dos. Cualquier número, sumado dos veces (duplicado, multiplicado por dos), es par. Los pares obtenidos pueden de nuevo multiplicarse por dos múltiples veces, obteniendo números pares que son múltiplos de dos múltiples veces, valga la redundancia.

Pero si en lugar de cualquier número empezamos por hacer esto con el mismo dos, los sucesivos duplicados que obtenemos pueden dividirse por la mitad una y otra vez, hasta que ya no podemos hacerlo más, porque llegamos al uno: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... Cada uno de ellos es múltiplo de todos los anteriores. Estos números son las potencias de dos. Voy a llamarlos "superpares". Dividiéndolos sucesivamente por dos llegamos al uno.

Pero otros números pares tienen otros divisores además de algunos de los anteriores (18/3=6, 18/9=2, 18/2=9), y al partirlos sucesivamente por la mitad llegamos a un punto en que no podemos obtener más mitades enteras. Si puedo dividirlos en dos una vez los llamaré (perdonad la licencia) "monopares" (14/2=7), y si puedo hacerlo varias veces sucesivas, "multipares" (28/2=14, 14/2=7)

La suma de números pares, o de un número par de impares, es un número par (2+2+8=12, 3+5+2+6=16). Una suma en que haya un número impar de impares es un número impar (3+5+2+7=17).

Un producto sin números pares es impar (3x5=15), pero basta que uno de los factores sea par para que el producto también lo sea (3x2x7=42).

La segunda clasificación que haremos es en primos y compuestos. Son primos los que solo admiten dos divisores, que son él mismo y el uno (7/7=1, 7/1=7). Esto significa que solo los podemos repartir en unidades, evidentemente todas iguales, o no repartirlos y quedarnos con el todo entero.

Los números que tienen más de dos divisores pueden repartirse de diferentes formas en agrupaciones iguales (30/2=15, 30/3=10, 30/5=6, 30/6=5). Son números compuestos.

Empecemos para abrir boca con los números 0, 1, 2 y 3. El cero es par, porque es múltiplo de dos (0x2=0). En cambio no es primo, porque tiene infinitos divisores (0/23=0). El uno, paradójicamente, es el primero de los naturales y el primer impar, pero no es primo porque solo tiene un divisor, que es él mismo (1/1=1). El dos es el único que es a la vez par y primo (2/2=1, 2/1=2). El tres, por último, es impar y primo, y a partir de él se alternan por igual pares e impares, y de modo desigual compuestos y primos. Los primos van escaseando al avanzar, pero sin que ninguno termine la serie infinita.

En efecto (teorema e Euclides): si hacemos una criba de Eratóstenes para obtener una lista exhaustiva de números primos con cualquier número de elementos, los ordenamos luego de menor a mayor y los multiplicamos todos, basta con sumarle 1 al producto para que el resultado no sea divisible por ninguno de ellos. La conclusión es que el número así obtenido, o es primo, o tiene algún divisor primo que no estaba en la lista, y que por consiguiente es mayor que todos los considerados. Luego por larga que fuera la lista siempre hay primos mayores.

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Viene a cuento esta introducción clasificatoria a los números naturales, aquellos que nos sirven para contar u ordenar, porque, sean primos o compuestos, impares o pares (y dentro de ellos "monopares", "multipares" o "superpares"), todos, absolutamente todos ellos pueden someterse a cierto conjunto ordenado y finito de operaciones que nos lleva de uno a otro y termina cuando llegamos al número uno.

Se trata del algoritmo 3n+1, y consiste en lo siguiente:

• Tómese un número cualquiera.
• Si es par, divídase por dos.
• Si es impar, multiplíquese por tres y súmesele uno.

De este modo, podemos prescindir inmediatamente de los pares, porque rápidamente la aplicación del algoritmo nos lleva a un impar, sea en un solo paso ("monopares") en varios ("multipares") o directamente a la unidad ("superpares").

Llegados a un impar, o partiendo de él, al multiplicarlo por tres, que es también impar, el resultado es impar, y al sumarle uno tenemos de nuevo un par, iniciando una cadena descendente más o menos corta hasta otro impar, y así sucesivamente.

De este modo tenemos una operación ascendente que triplica el número, y otra descendente, que puede constar de uno o más pasos y lo reduce a la mitad, o con suerte, a la cuarta, la octava parte...

Parece razonable pensar que, aunque multiplicar por tres es más potente que dividir por dos, la operación ascendente, que siempre es de un paso, no podrá vencer a la descendente, que puede constar de varios.

Es algoritmo porque es finito, aunque nadie haya podido demostrarlo hasta hoy. Por eso es aún una conjetura y no un teorema.

Necesariamente, damos por cumplido el algoritmo cuando llegamos al uno. Veamos:

1, 1x3+1=4, 4/2=2, 2/2=1

Ya no podemos sino repetir eternamente la operación, sin salir del bucle sin fin. Damos así por concluido el cálculo.

Pero surge la pregunta que aún no tiene respuesta en forma de demostración irrefutable: en este proceso, ¿podríamos llegar a un número, distinto de uno, por el que ya hubiéramos pasado antes? En tal caso tendríamos un bucle eterno diferente del anterior, porque una y otra vez volveríamos a este numero, sin descender jamás.

Aunque se han probado todos los números hasta decenas de dígitos, aún no se ha encontrado un contraejemplo que nos lleve a otro bucle como el del número uno.

Saltando de rama en rama, de número en número, vamos rellenando su lista infinita, sin volver nunca al mismo punto hasta llegar al brevísimo bucle que finaliza la búsqueda. Podéis probar con cualquier número. No os asustéis, porque con la calculadora del ordenador se llega en un número no muy grande de pasos. Pondré un par de ejemplos cortos, para no aburrir. Partiendo del 11:

11, 3x11+1=34, 34/2=17, 17x3+1=52, 52/2=26, 26/2=13, 13x3+1=40, 40/2=20, 20/2=10, 10/2=5, 5x3+1=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1

Sucesivamente: 

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Partiendo del 682:

682, 341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

En ambos casos la sucesión termina en una serie de "superpares", más o menos larga. Y en los dos asciende hasta un valor máximo (en negrita renegrida) que no se vuelve a alcanzar. A veces ese número cumbre es el inicial

9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

La aparición terminal de estos superpares, que son potencias de dos, lleva naturalmente a relacionar esto con el sistema de numeración binario.

Los sistemas de numeración que utilizamos disponen de una serie de cifras significativas, y un importantísimo cero. El conjunto de las primeras y el "inoperante" cero es la base del sistema, que en nuestro caso es diez.

Consideremos un número cualquiera, para entender mejor los sistemas modernos de numeración, en los que la posición del dígito en el número determina su valor. Y ahí es donde el cero cobra toda su importancia:

1302 = 1x10x10x10 + 3x10x10 + 0x10 + 2x1 = 1000 + 300 + 0 + 2

El valor de un dígito se multiplica por diez con cada desplazamiento a la izquierda en el número. Nada cambia en la estructura de este modo de numerar si la base es cualquier otro número. Así, con base cinco, usaríamos las cifras 0, 1, 2, 3, 4, y la serie de los números naturales comenzaría así:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23...

Contad y veréis que este "23" sería nuestro trece.

Ahora, cada desplazamiento a la izquierda multiplica por cinco su valor, que aumenta según las potencias de cinco.

¿Cuál será el valor, en nuestro sistema decimal, del número 1302, si nos dicen que estamos en un sistema de base cinco?

1302 = 1x5x5x5 + 3x5x5 + 0x5 + 2x1 = 1x125 + 3x25 + 0x5 + 2x1 = 125+75+0+2 = 202

Cuando la base es un número muy bajo, el número expresado también lo es; cuando la base aumenta, el valor del número lo hace también, y mucho.

¿Qué ocurre si la base es dos? Solo disponemos de dos dígitos, 0 y 1. Cada paso a la izquierda multiplica por dos el valor del dígito. La sucesión numérica queda así:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101...

Este 1101, traducido al sistema decimal, valdría:

1101 = 1x2x2x2 + 1x2x2 + 0x2 + 1x1 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 8+4+0+1 = 13

¿Podemos hacer fácilmente el paso inverso, del sistema decimal al binario? Desde luego que sí. Basta considerar que la sucesión de superpares decimales 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... o, lo que es lo mismo, 1, 1x2, 1x2x2, 1x2x2x2, etc... es una serie de potencias de dos, y en el sistema binario se representaría así: 1, 10, 100, 1000...

Cualquier número decimal, como el ya utilizado 1302, puede descomponerse en una suma de potencias de dos, restándole sucesivamente la última de la serie que es menor que él:

1302 = 1024+ 278 = 1024+256+22 = 1024+256+16+6 = 1024+256+16+4+2

Que en binario sería: 10'000'000'000 + 100'000'000 + 10'000 + 100 + 10 = 10'100'010'110 (los he separado de tres en tres para no volverme contando más loco de lo que estoy, y por la misma razón he subrayado los unos para que veáis cómo se corresponden con las potencias de dos expresadas más arriba en el sistema decimal).

Comprobad que aquí todos los pares terminan en cero, y los impares en uno.

Como veis, este sistema es inmanejable, salvo para una máquina. En computación, la dicotomía binaria nos lleva al concepto de bit, la mínima unidad de información, que puede tomar únicamente los valores cero y uno. Más manejable para la mente humana resulta el byte, unidad de información compuesta por un conjunto ordenado de 8 bits. Sucesivamente se han ido ampliando en las computadoras los procesadores a sistemas de 16, 32, 64 bits...

Siempre están presentes los superpares, las potencias de dos. ¡A este paso, con tanto "pogreso", no sé a donde vamos a ir a parar!

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Dos cosas hemos aprendido en este recorrido. Por una parte, que los números son en sí mismos independientes de cómo los representemos. Por otra, que a pesar de ello necesitamos un sistema para manejarlos, y corremos el riesgo de confundir el número con su representación.

¿Existen entonces los números con independencia del sistema? ¿Qué tipo de existencia es la del número trece, o la del 30227?

Existen en la medida de que podemos establecer conjuntos de elementos, de unidades, y compararlos. Podemos emparejar 13 garbanzos, o 30227, con otros tantos gamberros, o catedrales (si es que hay tantas). Y con cualquiera de esos conjuntos podemos, o no, agruparlos en subconjuntos iguales, de la misma manera en todos ellos. Los conjuntos de numeral primo pueden ordenarse únicamente en una fila o columna. Los de numeral compuesto admiten otras ordenaciones rectangulares. Podéis verlo en las sucesivas formas históricas de ordenar las estrellas cambiantes en la bandera de las trece barras.

La tentación surge cuando vemos que los diferentes sistemas de numeración sugieren en sí mismos estructuras que se dan en unos y no en otros. El sistema decimal es muy manejable (de "mano"): dos manos con cinco dedos cada una, dos subconjuntos iguales de cinco elementos (emparejables por lo tanto, aunque sea para rezar).

Un sistema de base siete lo empleamos rudimentariamente para los días de la semana. El sexagesimal para dividir las horas en minutos y estos en segundos, aunque no vamos más allá, porque para las horas empleamos bases doce o veinticuatro. Y hemos visto la utilidad computacional de los sistemas binario, octal o hexadecimal.

La utilidad de un sistema de numeración viene dada por el número de divisores de la base del sistema, y también por la cantidad de símbolos necesarios para representar un número. El sexagesimal de los babilonios precisaría de 60 símbolos numéricos, aunque tiene la ventaja de sus muchos divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. El vigesimal se ha usado en Mesoamérica, y ha dejado huella en la lengua francesa. Supongo que era cómodo contar con los dedos de manos y pies si se andaba descalzo.

(Recuerdo un momento, allá por el sesenta y ocho, cuando los estudiantes decidimos "independizarnos" del sistema educativo y elaborar nuestros propios apuntes. Leído y carcajeado en uno de los borradores que hicimos: "el sistema vigesimal se basa en los veinte dedos de la mano, y tuvo adeptos entre los mayas y en Francia...").

El decimal no está mal, con sus cuatro divisores, 1, 2, 5, 10. Alguien había propuesto el doce como "nuestro 10 futuro", por sus divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12. Más arriba de estos, a nadie se le ocurriría un sistema basado en un número primo elevado, como el 17. O el 1009, mal que nos evoque una rica cerveza...

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Para terminar, una consideración filosófica sobre el modo de existencia de los entes conceptuales abstractos, como los números. Existen incrustados en objetos reales, pero también en todas las conceptualizaciones que podamos inventar. Solo un materialista vulgar puede negarles la existencia.

Las operaciones básicas de contar y ordenar son aplicables a objetos, a sistemas, procesos, reales o imaginarios, al tiempo y al espacio. A partir de ellas, las sucesivas ampliaciones del concepto de número que han permitido desarrollar el inabarcable mundo de las matemáticas no serían posibles sin estos sistemas posicionales de numeración.

Y una reflexión pedagógica: algo tan tedioso como aprender en temprana edad la tabla de multiplicar es inevitable. Es preciso manejar el lenguaje antes de reflexionar sobre él. Las lenguas naturales se asimilan tempranamente, mucho antes de reflexionar sobre su estructura. En cambio los rudimentos del lenguaje matemático no se adquieren así, y deben ser mecanizados antes de su comprensión racional.

La diferencia está en que la evolución nos ha llevado al aprendizaje precoz de las lenguas, pero no a un equivalente en los ámbitos científicos.

Habrá que tener en cuenta las etapas del desarrollo cognitivo estudiadas por Jean Piaget para encontrar el momento idóneo en que el niño debe pasar de ese aprendizaje mecánico a otro analítico. Los libros de matemáticas de Rey Pastor y Puig Adam para el bachillerato que yo estudié comenzaban ya, para niños de diez u once años, a explicar números y operaciones de modo muy racional.

Análisis y juegos como los que acabo de exponer solo serán comprendidos íntegramente practicándolos. Asi que lo dicho al principio: lápiz y papel (¡y calculadora!).