La sanidad ¿derecho o negocio?

La Semana Galega de Filosofía contó este año con la presencia de SOS sanidade pública en las personas de Pablo Vaamonde y Manuel Martín. La conferencia que impartieron y compartieron fue, como indica el propio nombre de la asociación, una llamada de socorro que denuncia la progresiva pérdida de calidad que va unida a la privatización o "externalización" de servicios.

Continúo así con la re-publicación de las conferencias, que comencé con la de clausura pronunciada por el psiquiatra Guillermo Rendueles.

La primera parte de la que añado hoy la pronunció (en gallego) el doctor Pablo Vaamonde. A partir del minuto 39 prosigue, en castellano, el doctor Manuel Martín.

La geometría del diseño islámico

Bien se ve, si seguís este blog, que es uno de mis temas favoritos. Incluso en la arquitectura que pude hacer (cuando me dejaron) hay alguna con cuatro ejes de simetría. No es tan magnífica como la Villa Rotonda (tampoco yo soy Andrea Palladio) pero sigue más de cerca esta geometría que fascinó al arte islámico. Puede que la veáis por aquí algun día.

Tomé este vídeo de una página de Facebook en que suelo encontrar informaciones de interés. Os la recomiendo, así como también esta otra. 

El vídeo pertenece a la página TED-Ed.

Merece la pena detenerse en cada construcción, en cada imagen. Si a Escher le fascinó, puede que también a vosotros.

La expresión gráfica en la ingeniería (3-c)

Recordaré una vez más que el libro puede seguirse desde el principio. Pulsando aquí.

En el grabado que encabezaba lo último publicado de la serie se calcaba sobre una superficie transparente lo que se quería copiar. En este de hoy el dibujante copia lo que ve en cada celda de la cuadrícula sobre un soporte más versátil. Antes de la invención de la fotografía es probable que algunos artistas utilizaran estos procedimientos, Ahora, incluso si se quiere llevar la imagen al lienzo, nada impide al artista proyectar una diapositiva sobre él (aunque sospecho que si lo hace sentirá vergüenza de reconocerlo).

De todos modos un buen dibujante puede trasladar mentalmente las formas del espacio a una superficie plana sin tanto artificio.

Varias veces he lamentado la escasa calidad de las reproducciones que os estoy facilitando. De todos modos, ampliando mucho las imágenes llegan a verse las líneas más finas. Pero en el formato PDF que podéis descargar al comienzo de cada capítulo la calidad es mucho mejor, sobre todo si se amplía la imagen.

Todo lo visto sobre las proyecciones ortogonal, oblicua y central para uno y dos puntos vale para cualquier número de ellos. Con tres puntos ya definimos un plano mediante un triángulo contenido en él. Esta es su proyección ortogonal:

La proyección oblicua del mismo triángulo, vista en el espacio y más abajo efectuada directamente en el plano mediante abatimientos:

Así queda la lámina:

Proyección central. las operaciones del espacio, abatidas sobre el plano:

Lo que queda sobre la hoja es esto:

Cuatro puntos ya definen un sólido. Su proyección ortogonal:

Proyección oblicua:

Las operaciones en la lámina:

Proyección central:

Las proyecciones ortogonal y central, sobre la lámina de dibujo. Nótese como la cara ABD del tetraedro pasa de vista en la ortogonal a oculta al cambiar el punto de vista, acercándolo desde el infinito. En algún punto de su trayecto descendente hacia P la cara se verá de canto:

Proyección ortogonal de un cubo:

Proyección oblicua. Unas líneas muy tenues en esta imagen señalan la operación proyectiva en el plano proyectante, antes y después de su abatimiento. Como ocurre con todas estas figuras, se aprecian mucho mejor en el PDF, sobre todo si se amplía la imagen:

La proyección oblicua del cubo y los puntos del infinito en que concurren sus líneas importantes (lados, diagonales...):

Proyección central del cubo, el plano de proyección visto en el espacio y luiego abatido:

Puntos límite (de fuga) de las diagonales de las caras perpendiculares al plano de proyección:

Y una vez más termino mostrando los únicos modos de realizar la proyección sobre el cuadro de rectas del espacio. Como véis, son habas contadas:

Como pedagogía para entender los principios no está mal este método, pero en el capítulo siguiente veremos un procedimiento mucho más práctico para realizar toda clase de perspecticvas e intercambios entre ellas.

(sigue el cuarto capítulo)

Partidos revolucionarios y conciencia revolucionaria

Una vez más recurro al blog Marx desde Cero como herramienta para la reflexión. En él recoge hoy mismo Antonio Olivé un ensayo contenido en el libro "De la revolución", del filósofo Felipe Martínez Marzoa.

En él se desmontan algunos tópicos al uso sobre las concepciones de Marx y Lenin. Del primero, considerando sus análisis como "profecías", se insiste en su fracaso, como si la revolución fuera un mecanismo de relojería, cuando sabemos de la insistencia marxiana en la necesidad de que el proletariado pase de clase "en sí" a clase "para sí", lo que implica la necesaria toma de conciencia. Del segundo suele interpretarse erróneamente su idea de que la conciencia revolucionaria debe ser introducida en el proletariado "desde fuera". En realidad eso no significa que el partido que quiera cumplir ese papel de creador y transmisor de conciencia tenga necesariamente las tesis correctas y deba "adoctrinar" con ellas a la clase obrera. Mucho menos que la "dictadura del proletariado" desemboque en la del partido. La dirección real del movimiento debe partir de la propia clase, y solamente a posteriori se podrá decir si hubo "un partido de la clase obrera".

Sobre las derivas revolucionarias, para comprenderlas hay que conocer la Historia y analizar el desfase entre el tiempo objetivo en que la revolución es posible y la subjetividad de los actores, empezando por unos partidos que acaban cultivando en su seno tendencias conservadoras, porque toda organización las desarrolla en cuanto tiene algo que conservar.

Por otra parte, añado yo, es de una visión muy torpe poner plazos precisos a los fenómemos sociales, y dar por liquidada definitivamente la revolución por el hecho de que hasta ahora no se haya producido esa necesaria sinergia entre el proletariado y un partido verdaderamente revolucionario. La "Historia" que sí podemos dar por terminada es la historieta que contaba Fukuyama.

También añado yo una pregunta: ¿Existe hoy el proletariado, siquiera como clase "en sí"? Desde luego no parece que se considere clase "para sí".

Lo dicho anteriormente sobre las tendencias conservadoras es perfectamente aplicable al proletariado. Hoy, una parte considerable de los trabajadores tiene algo que perder, además de sus cadenas,

Pero si alguien que trabaja por cuenta ajena y no ha acumulado capital suficiente para vivir de él (en principio explotando, lo quiera o no, a otros trabajadores) se encuentra súbitamente desempleado y consume sus reservas, debería comprender que entonces no tiene que perder nada más que sus cadenas. Debería entenderlo antes de llegar a esa situación, para muchos difícil de imaginar en épocas de bonanza.

Hay un último recordatorio al final del artículo, que dedico a los muchos que en esta coyuntura abandonan y se van a casa a lamerse las heridas, muchas veces más imaginarias que reales:

No hubo revolución porque los partidos «revolucionarios» la estorbaron. Y entonces viene el hablar de que toda organización, por el hecho de serlo, desarrolla tendencias conservadoras (lo cual es indudable), y entonces viene el huir de la organización e irse cada uno a su casa a meditar sobre lo mal que están las cosas; porque lo que aquí se entiende por «organización» no es otra cosa que la actuación en general. A uno le queda, desde luego, la posibilidad de reunirse de vez en cuando con algunos amigos para penetrarse recíprocamente en un ejercicio de autocontemplación colectiva. Estas posturas tienen mucho de lo que pretenden combatir.

Como zanjaba Manuel Fraga, "no tengo nada más que añadir". Que hable el maestro.

SOBRE LA CUESTIÓN DEL PARTIDO REVOLUCIONARIO

Felipe Martínez Marzoa

Hubo un tiempo en que los partidos (al menos los partidos revolucionarios) agrupaban a las personas que tenían una posición política bien definida; la posición política producía la afiliación, y ésta hacía posible la eficacia de aquélla. Hoy no hay tal; los partidos «revolucionarios» están para que las personas puedan no tener una posición política bien definida; la afiliación suple (y, a la vez, estorba) la definición precisa de actitudes; los motivos de la elección pueden ser bastante diversos, y nunca esenciales, porque los mismos programas de los partidos, por lo que se refiere a sus diferencias, se quedan generalmente en lo inesencial. 

Hubo un tiempo en que el peligro de los partidos (que no contradice la necesidad de los mismos) estribaba en que toda organización, por el hecho de serlo, desarrolla en su interior tendencias conservadoras. Hoy en día, los partidos no tienen por qué temer demasiado el desarrollo de tendencias conservadoras en su interior, ya que no son revolucionarios. 

No hay partidos revolucionarios. No hay revolución. Y entonces se piensa que las «predicciones» de Marx no se han cumplido. Marx fracasó… como futurólogo, campo en el que nunca pretendió ejercer. 

Es perfectamente contraria al pensamiento de Marx la idea de que la revolución se seguiría «necesariamente» en virtud de una «ley» del acontecer histórico. La única «ley» que Marx investigó es la del propio desarrollo del capitalismo, y ésta es una ley sincrónica, no diacrónica; una ley del acontecer interno del sistema, que conduce a éste a un callejón sin salida; produce el proletariado como la negación «en sí» de la propia sociedad moderna, pero no hace de esta negación «en sí» la negación «para sí». El salto de la situación material del proletariado a la revolución proletaria es el salto de la espontaneidad a la conciencia, y este salto no puede estar determinado por «ley» alguna ni es ningún fenómeno «material»; aquí es donde todo puede fallar de hecho sin que Marx resulte por ello «refutado». Y aquí es también donde se sitúan una serie de vidriosas cuestiones. 

En su «¿Qué hacer?», Lenin expuso que la «conciencia revolucionaria» debe ser introducida en el proletariado «desde fuera». Lo que esto quiere decir es, más o menos, lo siguiente: 

La palabra «proletariado» designa un aspecto esencial de la sociedad moderna, precisamente su aspecto negativo; por lo tanto, designa un aspecto de la «ley» que Marx investiga; y esta «ley» no incluye, no determina, no hace necesaria la propia conciencia de ella misma. La conciencia revolucionaria y la conciencia de la «ley»  son la misma cosa, y esta misma cosa es la negativa conciencia de sí que la sociedad moderna (negativamente considerada, esto es: el proletariado) puede tener; tal conciencia es el ser para sí aquello que el proletariado es ya en sí por el hecho de ser materialmente proletariado; por lo tanto, el proletariado, por el hecho de ser materialmente proletariado, puede, como clase, tener esa conciencia, pero no la tiene ya por el hecho de ser materialmente proletariado; esto es lo que quiere decir la tesis de que tiene que venirle «de fuera»: de fuera de su propia actividad (y lucha) espontánea, «económica» (en amplísimo sentido), por muy graves que sean las formas que esta lucha adopte.

De aquí se desprende que el elemento en el que toma cuerpo la conciencia revolucionaria no coincide de modo material e inmediato con la propia clase revolucionaria; ése «otro» elemento es lo que podemos llamar «partido revolucionario». 

La tesis de Lenin en el «¿Qué hacer?» ha sido objeto de una falsa interpretación en la que no por casualidad coinciden -sólo que unos buscando apoyo y otros atacando, unos en la práctica y otros en la prosa- burócratas «marxistas» y defensores de la «espontaneidad» de «las masas». Esa interpretación consiste, con unas u o tras variantes, en decir que, según Lenin, el partido posee las tesis correctas y debe adoctrinar con ellas a la masa obrera. Pero lo cierto es que Lenin no pensaba que una determinada organización pueda tener el derecho de autoproclamarse «el partido de la clase obrera»; por el contrario, lo que pensaba es que la única demostración definitiva de la validez revolucionaria de un programa de partido la da la clase obrera misma, ya que tal demostración no es otra cosa que la revolución, y sólo entonces, a posteriori, podrá quizá decirse que hubo un «partido de la clase obrera».

De esto se siguen varias importantes tesis:

Primera, que el partido no es una forma de organización de la clase misma, ni siquiera de la «parte más consciente» de ella, sino que es algo realmente distinto de la clase. Su relación con la clase estriba en que se dirige a ella y la acepta como tribunal que ha de juzgar prácticamente de la validez de su actitud; juicio que sólo habrá sido pronunciado cuando ya no haya ni clase ni partido.

Segunda, y consecuencia de la primera, que el partido revolucionario no pretende ser el partido en el poder. La dictadura del proletariado no es el poder de ningún partido, sino el poder de la propia clase proletaria, y hemos dicho que el partido es algo realmente distinto de la clase. Es la clase, y no el partido, quien ha de «hacer» la revolución. 

Tercera, que el partido no es en modo alguno una masa; su delimitación no es por condiciones materiales de existencia. Una consecuencia de esto es que el partido no debe ser considerado y evaluado con arreglo a criterios estadísticos. Por ejemplo, el número de militantes de un partido tiene sólo una importancia técnica. Igualmente, la extracción social de los militantes de un partido sólo tiene importancia en la medida (que nunca es nula) en que ese partido no es revolucionario. La fuerza de un partido revolucionario reside en las ideas (en las que también reside la manera de expresarse y producirse), no en los factores materiales que lo configuran como organización y entidad sociológica. 

Cuarta, que toda la actividad de un partido revolucionario puede entenderse como expresión, como palabra. Esto no tiene nada que ver con la absurda afirmación de que la actividad de un partido revolucionario haya de consistir materialmente en palabras. Lo único cierto es que toda la actividad de un partido tal ha de juzgarse como elaboración y explicación de su postura y desde el punto de vista de si pretende y consigue llevar a sí mismo y a la clase a una visión más clara, más carente de ilusiones, más penetrante. Lo que jamás hará un partido revolucionario, por muy brillantes que pudieran ser los resultados inmediatos es alimentar ilusiones, llamar a la acción alegando motivos no reales; en una palabra: engañar. 

Hemos dicho que el partido revolucionario es el elemento material definido por la «conciencia revolucionaria». Nunca se insistirá demasiado en que un partido revolucionario no es una «masa» sociológica, sino un conjunto de individuos. Quienes piensan poner peros a una presunta concepción marxista del papel del individuo en la historia citando el hecho de que, sin la llegada de Lenin a Rusia en abril de 1917, no se hubiera producido la toma del poder en octubre, puede ser que no yerren acerca del episodio en cuestión, pero yerran acerca de qué es lo que dice el marxismo sobre el papel del «individuo» en la historia. Por otra parte, puestos a poner tales peros, sería más acertado referirse al papel desempeñado por la obra del propio Marx, «individuo» ciertamente no repetido. Se sigue también que un partido es revolucionario si (y sólo en la medida en que) los «individuos» que lo forman son revolucionarios y, de ellos, los unos saben que lo son los otros, de modo que una actuación solidaria con que lo forman son revolucionarios y, de ellos, los unos saben que lo son los otros, de modo que una actuación solidaria con un principio de decisión democrático sea posible.

Si el partido debe representar la conciencia revolucionaria, y si éste es el elemento que ninguna «ley del acontecer histórico» puede hacer «inevitable», si ello es así según el marxismo, entonces el que la revolución no se haya producido no refuta a Marx si puede mostrarse que la clase obrera podía efectivamente hacer la revolución y que lo que faltó fue un partido revolucionario. Y, en efecto, puede mostrarse que, allí donde un partido con una fuerte componente revolucionaria llegó a mantener una línea política propia, la revolución echó a andar, y sólo no siguió porque el paso adelante dado tenía que ser continuado en otra parte donde no lo fue. Ahora bien, puesto que la revolución acontece en la sociedad capitalista (no «en» este o aquel país), la cuestión del partido se plantea también a escala internacional o, mejor, anacional. Lenin creyó que podría organizar sobre la marcha un partido marxista en todo el mundo capitalista, que había elementos marxistas suficientes; lo que no creyó fue que pudiese llevar adelante la revolución «en Rusia». 

Lenin siempre había puesto su esperanza en la existencia de un marxismo auténtico en la Europa Occidental. Hasta 1914 se había considerado solidario de la socialdemocracia alemana, por más que hoy, recorriendo la historia, podamos descubrir muchos episodios y datos que hubieran podido hacerle desconfiar. Al comenzar la guerra, se resistió a creer que el partido alemán hubiese aceptado la «defensa de la patria» (ante el número del Vorwärts que informaba del voto «socialista» en el Reichstag, pensó que debía de tratarse de una falsificación policial), y finalmente no encontró mejor concepto que el de «traición»; los «traidores» eran, en realidad, doctos y autorizados burócratas de la «revolución», señores que, desde hacía bastante tiempo, tenían mucho que perder; el partido mismo era una eficaz institución pública con locales de recreo y demás; la revolución era para ellos una cosa muy lejana. La «traición» de la socialdemocracia alemana, el poderoso partido hacia el que miraban todos los marxistas del mundo, el partido que se consideraba heredero directo de Marx y Engels, produjo una desorientación general; a partir de entonces todo fueron escisiones, discusiones y pasos en falso, mientras las condiciones materiales de la revolución maduraban y se pudrían. En Rusia, quizá; porque las escisiones se habían producido antes (es decir: a tiempo), se llegó a la toma del poder, y, desde entonces todo estuvo, desde Rusia, en si la revolución se producía en Occidente, y, en Alemania, en si se formaba un verdadero partido revolucionario antes de que fuese demasiado tarde. No se puede achacar el empantanamiento de la revolución a que la situación objetiva no daba para más; no hubo revolución porque apenas había revolucionarios.

No hubo revolución porque los partidos «revolucionarios» la estorbaron. Y entonces viene el hablar de que toda organización, por el hecho de serlo, desarrolla tendencias conservadoras (lo cual es indudable), y entonces viene el huir de la organización e irse cada uno a su casa a meditar sobre lo mal que están las cosas; porque lo que aquí se entiende por «organización» no es otra cosa que la actuación en general. A uno le queda, desde luego, la posibilidad de reunirse de vez en cuando con algunos amigos para penetrarse recíprocamente en un ejercicio de autocontemplación colectiva. Estas posturas tienen mucho de lo que pretenden combatir. Es típica lógica de burócrata la plana convicción de que, si esto encierra la tendencia a aquello y se quiere destruir aquello, hay, por de pronto, que evitar esto. No puede seriamente plantearse la cuestión de evitar a toda costa todo aquello que «puede conducir» a posiciones reaccionarias.

Cante de las minas

Todo el cante de Levante,

todo el cante de las minas,

todo el cante... 

El Rojo el Alpargatero

El pasado 23 de marzo el programa nuestro flamenco daba noticia del disco antológico "Antonio Piñana, in memoriam" junto a una entrevista a su nieto Curro Piñana. Se recordaban los orígenes de estas formas flamencas conocidas como "cante de las minas" porque su origen se remonta al auge minero iniciado a mediados del siglo XIX, y que tanto emocionan por su bellísima expresión melódica como por sus sentidas y a veces escalofriantes letras, testimonio de vidas obreras muy duras.

El origen de estos cantes son las cuencas mineras de Jaén, Almería y el Campo de Cartagena, con centro en La Unión, donde anualmente se celebra ahora el Festival Internacional del Cante de las Minas.

Las migraciones entre este triángulo y la afluencia a ellas de trabajadores procedentes de otras zonas de Andalucía y Murcia fueron configurando estos cantes, cuya forma actual se inicia con Antonio Grau Mora, "El Rojo el Alpargatero".

"Hubo un cantaor muy conocido llamado El Rojo el Alpargatero, que vivió en la Unión (Murcia). Fue el primero que dio a conocer estos cantes, como escuela propia, a finales del siglo XIX. Se cuenta que fijó la minera y fue decisivo para la formación de los Cantes de Levante. Su hijo, Antonio Grau Dauset, heredó su arte y lo transmitió a grande cantaores como Antonio Piñana.

Se cuenta que al Rojo el Apargatero le gustaba mucho ponerse por la mañana temprano en la ventana de su casa para ver la marcha de los mineros, que solían ir cantando algún cante minero cuando iban a su trabajo."

Aquí entroncan mis propios recuerdos, porque de El Rojo y de Antonio Piñana oí hablar a mi padre.

Mis padres pasaron en Cartagena el tiempo de la guerra, mucho antes de que nacieran sus hijos. Luego, en Écija y en Madrid, tuvieron amigos cartageneros. Después de la "transición" retomaron a algunos otros que volvieron del exilio... Es notable como de los tiempos malos pueden tenerse buenos recuerdos.

Mirando hacia atrás, recuerdo cómo la afición al cante me viene de mi padre, Olegario Guirado. Incluso traté de aprender de él la malagueña, pero mi voz no admite el imprescindible garganteo y suena con tristeza ovejuna. Cuando oigo malagueñas me acuerdo de él, como me recuerdan las granaínas a mi tio Gonzalo Fernández, que las cantaba sin gracia flamenca, pero con mucha gracia personal.

Los cantes de Levante y de las minas están entre mis favoritos, sin olvidar a los demás, entre los que pongo en un altar soleares y seguiriyas. Pero para qué nombrar más, si ya lo hizo Manuel Machado en este poema sobre La Lola se va a los puertos, la obra que llevó al teatro junto a su hermano, el gran Antonio.

La Lola se va a los Puertos.
La Isla se queda sola;.
Y esta Lola, ¿quién será,
que así se ausenta, dejando
la Isla de San Fernando
tan sola cuando se va...? 

Sevillanas,
chuflas, tientos, marianas,
tarantas, tonás, livianas...
Peteneras,
soleares, soleariyas,
polos, cañas, seguiriyas,
martinetes, carceleras...
Serranas, cartageneras.
Malagueñas, granadinas.
Todo el cante de Levante,
todo el cante de las minas, 
todo el cante...
 
que cantó tía Salvaora,
la Trini, la Coquinera,
la Pastora...,
y el Fillo, y el Lebrijano,
y Curro Pabla, su hermano,
Proita, Moya, Ramoncillo,
Tobalo -inventor del polo-,
Silverio, Chacón, Manolo
Torres, Juanelo, Maoliyo...

 Ni una ni uno
-cantaora o cantaor-,
llenando toda la lista,
desde Diego el Picaor
a Tomás el Papelista
(ni los vivos ni los muertos),
cantó una copla mejor
que la Lola...
Esa que se va a los Puertos
y la Isla se queda sola.

Además de los estilos, estos versos son un homenaje a algunos de los hitos de la historia del cante, aunque, congelados en su tiempo, ya no alcanzan a tantos maestros posteriores. El Lebrijano del que habla no es, evidentemente, Juan Peña, otro ilustre hijo de Lebrija (bueno, no viene mal recordar también al padre de nuestra gramática...). 

Vuelvo al programa flamenco cuyo enlace dejé más arriba, Luego de un "prólogo guitarrístico" dedicado a la rondeña, a partir del minuto 21 comienza el diálogo con Curro Piñana, interrumpido por cantes como la minera piñanera de su abuelo, compuesta sobre la del Rojo, seguida de mineras de este último y de su hijo Antonio Grau Dauset, una cartagenera del Rojo y luego la taranta de Cartagena, terminando con la malagueña cartagenera de Antonio Piñana.

Un gran programa, que completaré con este vídeo

 
Y con este otro



"Y nada más, amigos, muchas gracias por habernos acompañado..."

La expresión gráfica en la ingeniería (3-b)

En la entrega anterior de esta serie incluí un grabado de Durero que mostraba de modo muy didáctico, aunque poco práctico, los principios de la proyección, punto a punto, Encabezo ahora con otro grabado que ilustra un modo más práctico de "calcar" la imagen. Ahora se copian los contornos aparentes del sujeto sobre un cuadro transparente, y el requisito es que tanto el punto de vista como el plano del cuadro (y desde luego también el sujeto) permanezcan fijos.

Pero el procedimiento didáctico que voy a seguir no es este, sino el uso de una lámina de dibujo como plano en que proyectar puntos situados en su entorno inmediato. Por eso comenzaré invitando a nuestra protagonista pasiva, la lámina que empleaba en mis clases, sobre la que debo considerar el espacio que hay inmediatamente encima.

El vértice inferior izquierdo de la hoja será el origen de coordenadas, los bordes que parten de él los ejes coordenados x e y, mientras el eje z se eleva perpendicular al papel. Un punto A del espacio vendrá dado por sus coordenadas, las dos primeras representables directamente, y la tercera dada por una cota, distancia al plano. Las medidas, reales, se dan en milímetros.

Aunque poco, en esta reproducción se percibe con líneas de puntos el ortoedro cuyos vértices opuestos son el origen O y el punto A.

Sobre la hoja aparecerá esto, que es la proyección ortogonal del punto:

Algo más compleja es la proyección oblicua. Para realizarla usaremos tanto el vector ortogonal como el oblicuo, y la proyección ortogonal de este último sobre el plano del dibujo.

Hemos de imaginar que aplicamos ambos vectores libres al punto A del espacio y a un punto del plano de dibujo. Ambas aplicaciones se producen en dos planos paralelos ortogonales al primero ("planos proyectantes"). Podemos dibujarlos sobre éste si los giramos simultáneamente sobre sus trazas en él ("charnelas"). Es fácil hacerlo a partir de las coordenadas del vector. Aplicando el extremo del vector al origen de coordenadas, esas coordenadas serán las del origen del vector, pero será más cómodo hacer esta operación en otro punto de la hoja, puesto que se trata de un vector libre.. 

Las dos primeras coordenadas darán su proyección ortogonal v' y la tercera, trazada sobre el papel perpendicularmente a ella, nos sitúa el vector "abatido" (v) sobre la lámina.

Por la proyección ortogonal de A, A', trazamos una paralela a v', que será la charnela sobre la que abatiremos el otro plano proyectante. Llevamos la cota de A perpendicularmente a ella y obtenemos (A), y aplicándole (v) obendremos A", que sobre la charnela es la proyección oblicua buscada.

Todo ello efectuado, no en el espacio, sino en la propia lámina:

Abordemos ahora la proyección central, con un punto de vista propio V. que por comodidad situaremos en el centro de la lámina a una altura, dada por su cota, tal que quepa  en ella una circunferencia cuyo radio sea la cota. La llamaremos circunferencia de distancias, y sus puntos marcarán todos los abatimientos posibles del punto de vista V.

Esto es de entrada lo que aparecerá en la hoja, La proyección de V es V' = P, punto principal, y la cota de V es el radio de la circunferencia de distancia.

Para hacer la proyección central de un punto A lo proyectaremos ortogonalmente en A'. VV' y AA' determinan un plano que abatiremos sobre su charnela, obteniendo A", que es la proyección buscada.

Por lo tanto, lo que habríamos de hacer en el espacio somos capaces de hacerlo ahora, gracias al concepto de abatimiento, en el plano, y A" aparece en la intersección de V'A' y (V)(A).

Lo que hemos aprendido sobre las proyecciones oblicua y central de un punto podemos hacerlo extensivo a más de uno. Veamos primero la proyección ortogonal y de un segmento dado por sus extremos A y B:

Y ahora la proyección oblicua, primero en el espacio, donde hay tres planos proyectantes, para el vector y para los extremos del segmento, que abatiremos:

Limpiamente, todo ello aparece reflejado en el plano de dibujo:

Vamos a hacer la proyección central del mismo segmento. Ahora, no existe el plano proyectante para el vector, porque no lo hay, y los planos proyectantes de A y B no son paralelos, sino que se cortan en VV'. Los abatimientos respectivos de V son (V)A y (V)B, y así obtenemos A" y B".

Todo efectuado sin salir del plano de la lámina:

La circunferencia de distancia, además de su papel facilitador de los abatimientos de V, es un indicador de la distorsión de la imagen. Los puntos cuya proyección queda fuera de ella proporcionan imágenes difíciles de ver e interpretar, y en definitiva poco creíbles. La razón de ello está en nuestro campo visual, que no capta imágenes mucho más allá de una separación de 45º de la mirada al frente. Y los puntos exteriores a la circunferencia forman ángulos mayores.

Lo hecho para uno y dos puntos, lo extenderemos a tres puntos, que definen un plano, o cuatro, representantes de un sólido, y podemos hacerlo para cualquier número de puntos. Resulta un proceso laborioso, aunque algo menos que el de Durero de la cuerda y el marco móviles.

Y tengo la esperanza de que resulte casi tan didáctico como aquél.

(el final del capítulo tercero)