Ahora presento algunas curvas técnicas, empezando por las cónicas. Siguiendo mi método, uso la proyectividad como guía, ya que todas las cónicas son proyectivas con la circunferencia, como secciones planas que son todas de un cono.
El consiguiente preliminar, en gallego:
La circunferencia es la prima donna:
Una construcción que aprovecha las propiedades del ángulo inscrito en ella; otra basada en el cuadrado circunscrito. En la parte inferior, aproximación mediante los octógonos inscrito y circunscrito:
Polaridad, una propiedad que relaciona biunívocamente cada punto del plano con cada recta del mismo, por medio de una circunferencia (no hay polo sin su polar, ni polar sin polo):
Los puntos de la circinferencia tienen como polar la tangente en ellos, los interiores la tienen fuera, la de los exteriores es secante:
La polar de los puntos de una recta contiene al polo de la misma. Las tangentes desde ambos polos forman un cuadrilátero circunscrito:
Cuando la polar se traslada al centro de la circunferencia, el polo se desplaza al infinito; en consecuencia, la polar del centro es la recta del infinito, lugar de todos los puntos impropios correspondientes a todos los diámetros:
Si dado un punto interior a la circunferencia trazamos su polar y desde dos puntos de esta las suyas, tendremos un triángulo en el que cada vértice es polo del lado opuesto. Se lo denomina triángulo autopolar.
Trazando las tangentes dede los vértices exteriores del triángulo se obtiene un cuadrilátero circunscrito, perspectiva de un cuadrado si consideramos que la polar exterior es el horizonte.
Es muy curioso el papel de la circunferencia, que es perspectiva de otra circunferencia, la inscrita en el cuadrado. Una circunferencia como perspectiva de otra. El polo interior sería la perspectiva del centro de esta, y las polares secantes representan dos diámetros perpendiculares, las paralelas medias del cuadrado circunscrito.
Hay que puntualizar que no todo cuadrilátero circunscrito a la circunferencia realiza una perspectiva: solo los obtenidos de un triángulo autopolar.
El triángulo autopolar tiene un vértice dentro del círculo, salvo en el caso de que partamos para construirlo de dos vértices pertenecientes a la circunferencia:
También puede el triángulo tener uno o dos vértices sobre la recta, impropia, del infinito. En ambos casos es rectángulo, y en el segunto, naturalmente, El vértice propio es el centro de la circunferencia, y su polar es la recta impropia.
Las cuerdas situadas sobre los lados del triángulo se denominan conjugadas. Estos son los casos posibles:
Caramba, por aquí aparece de nuevo el cuadrilátero completo y todos sus elementos, incluidas las cuaternas armónicas:
Como los ángulos inscritos en una circunferencia son rectángulos, encontramos aquí otra forma de dibujar la circunferencia por puntos. Existiendo el compás parece un procedimiento innecesario. Veremos que la idea no lo es.
Porque las transformaciones del cuadrado en otros cuadriláteros deforman la circunferencia, que se convierte en elipse. Elipse a la que pueden aplicarse todas las construcciones anteriores.Y la elipse, ahora como perspectiva de sí misma, transforma su centro en otro punto interior. En las figuras que reproduzco apenas lo entrevemos, pero las puntas de flecha permiten trazar las líneas que faltan, cuerdas conjugadas en que se transforman los diámetros de la elipse.
Curiosa trasformación esta, que convierte el plano en otra versión de sí mismo, con una cónica como elemento doble:
Pero aún no termina esto...
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