Lo mismo que con la circunferencia pasa con la elipse. Cuando el polo está sobre ella, la polar es la tangente en él. Si está fuera, se obtiene uniendo los puntos de tangencia, luego de trazar las tangentes desde él.
La relación recíproca de pertenencia entre polo y polar (los puntos de una recta polar tienen polares que pasan por su polo), hace posible el trazado de la polar de un punto interior a la curva.
Si la polar pasa por el centro de la elipse (es un diámetro) el polo emigra al infinito. Luego la polar del centro es la recta del infinito.
Dos cuerdas y la polar de su intersección definen un triángulo autopolar, cuyos vértices son los polos de los lados opuestos.
El triángulo autopolar solamente admite dos posibilidades: un solo vértice interior y dos exteriores o bien un solo vértice exterior y dos sobre la curva.
Una cuerda y un diámetro lanzan un vértice al infinito. Dos diámetros conjugados (lo son si la tangente por la intersección de cada uno con la elipse es paralela al otro) llevan el tercer lado al infinito. Un caso particular es el de diámetros conjugados perpendiculares entre sí (ejes).
Dos cuerdas cualesquiera definen un triángulo autopolar. Desde cada polo, las tangentes trazadas pasan por los extremos de su cuerda polar.
Más abajo, los triángulos autopolares de dos diámetros conjugados y de los dos ejes.
Una cuerda y su diámetro conjugado. Eje y cuerda conjugados.
Cuadriláteros asociados:
Más cuadriláteros asociados. ¿Podéis encontrar las cuaternas armónicas? ¿y las distintas perspectivas del cuadrilátero? En ellas la elipse aparece como perspectiva de la circunferencia, y las cuerdas o diámetros conjugados como perspectivas de dos diámetros perpendiculares de ella.
Pero no solo de la elipse viven las relaciones proyectivas de la crcunferencia. Hasta ahora hemos transformado el cuadrado circunscrito a ella en otro cuadrilátero cerrado, y la circunferencia se convirtió en elipse. Veremos a continuación lo que ocurre cuando llevamos al infinito algunos de sus elementos.
En primer lugar, cuando un solo punto de la circunferencia emigra al infinito, la curva se transforma en una parábola; así ocurre en las relaciones proyectivas entre las dos perspectivas del cuadrado y su circunferencia inscrita de la lámina que sigue.
En la primera, al llevar al infinito un lado del cuadrado trasladamos con él un punto de la circinferencia. El resultado es una cónica con un punto en el infinito: una parábola.
En la otra figura también hemos llevado al infinito un punto de la curva. Pero, ¿qué le ha pasado al cuadrado en la transformación, cuando uno de los vértices reaparece por arriba?
La polaridad aplicada a la parábola (porque todo lo dicho vale también para ella) permite obtenerla conocidos tres puntos A, B y C. Si AB es la polar y por C se traza la tangente paralela a ella, siendo M el punto medio de AB, podemos obtener el polo sobre la recta MC, que será un diámetro de la parábola, localizando J a la misma distancia de C que M. J es el polo buscado, y desde él se trazarán las tangentes a la curva por A y B.
Es así porque, sobre este diámetro, J, C, M y el punto del infinito I forman una cuaterna armónica que separa, por supuesto que armónicamente, a I y C del par M, J.
Estas cuaternas ya han aparecido en los casos anteriores a partir del cuadrilátero completo. En el caso de la parábola, una construcción muy sencilla basada en la cuaterna hallada permite obtener todos los puntos que se deseen. Obsérvese que la tangente en C es la paralela media del triangulo ABJ que forman AB y las tangentes por ambos puntos. Si ahora aplicamos la misma construcción al triángulo ACE = A'B'J' obtenemos C'. Podemos hacer lo mismo con A"B"J", construido sobre A'C', para obtener C". Tendremos la parábola trazada, a la vez por puntos y por tangentes.
Otra correspodencia proyectiva del cuadrado con otra imagen suya, en la que hemos trasladado al infinito su paralela media. Con ella se trasladan también al infinito dos puntos de la circunferencia inscrita, que se convierte en hipérbola. El cuadrado circunscrito, a su vez, se divide en dos trapecios con base en el infinito. Nótese que ahora la cuaterna separa armónicamente los vértices de la hipérbola de su centro y el punto del infinito del eje real.
Otra transformación. Ahora el cuadrado lleva al infinito dos vértices opuestos y la diagonal correspondiente.
Cosas interesantes que aparecen en la proyectividad.
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