sábado, 12 de agosto de 2017

La expresión gráfica en la ingeniería (6-e)

Para continuar y finalizar la parte dedicada en esta serie a las superficies de revolución, echaré una mirada al toro (suena a metáfora taurina, que la prudencia aconseja practicar sistemáticamente). De su análisis se deduce con gran sencillez un interesante teorema... ¡sobre la elipse!

La imagen que sigue la he tomado de una página interactiva que me ha gustado.

Orlando Camargo

La figura que sigue representa la sección por su eje de un cono de revolución. Dentro de él hemos encajado una esfera tangente, y por fuera un toro, tangente en la misma circunferencia de contacto. Vamos a cortar el conjunto por un plano perpendicular al del corte actual que pase por el centro de la esfera y sea tangente a la circunferencia axial del toro.  


El tal plano corta al cono en una elipse, a la esfera en una circunferencia máxima y al toro en una curva en forma de riñón. Las tres tienen una tangencia común, y en ese punto tienen la misma curvatura, siendo la circunferencia la osculatriz de las otras dos curvas.


En la figura que sigue, las circunferencias osculatrices de los puntos de máxima y mínima curvatura, los extremos de los ejes. El caso de la figura que antecede es el de curvatura máxima y mínimo radio.


El toro, en la posición en que le hemos dado el corte:


Hemos inscrito dos esferas tangentes al cono, ambas tangentes también al plano que corta al cono en una elipse, y vamos a demostrar que los puntos de tangencia son los focos de la elipse.

Los segmentos PF y PM son iguales, por ser ambos tangentes a la esfera mayor desde el mismo punto, y lo mismo ocurre sobre la esfera menor con PG y PL. De estas igualdades resulta que PM + PL = PF + PG. El primer miembro de la igualdad representa la distancia ML entre las circunferencias tangentes al cono, medida sobre una generatriz. El segundo la suma de distancias entre P y los puntos F y G. Para cualquier punto P de la elipse ML es constante, luego también lo es PF + PG. Entonces F y G cumplen la definición de los focos de la elipse de que la suma de distancias a todos sus puntos es constante e igual al eje mayor.

Esta es la demostración más sencilla del Teorema de Dandelin.


Y con esto finiquita este capítulo del libro de marras.

(continuará el séptimo capítulo)

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