Una tesis geométrica. Módulos mínimos en el espacio (I)

Ya hemos visto, aquí y aquí, como los mosaicos regulares y semirregulares se componen de piezas poligonales, a su vez constituidas por módulos menores en que los dividen sus ejes de simetría. Estos módulos, en el sistema triangular, son realmente mínimos al carecer de simetría interna, mientras en el cuadrado son infinitamente subdivisibles en triángulos rectángulos isósceles cada vez más diminutos.

Tampoco los poliedros regulares o sólidos de Platón, ni los semirregulares, conocidos como sólidos de Arquímedes, son realmente las piezas más simples en el espacio de la regularidad. Sus planos de simetría los dividen también en otras piezas menores, módulos elementales que son los auténticos "átomos" de la geometría del espacio.

De estos módulos se ocupa el octavo capítulo de la tesis, segundo de la segunda parte, que podéis obtener aquí.

En el plano había dos sistemas isótropos de simetría y en el espacio hay tres. Comenzaré por descomponer el tetraedro. Sus piezas más simples existen en dos modalidades enantiomorfas, esto es, que no pueden superponerse las de distinta modalidad pero sí reflejarse especularmente la una en la otra:

Sus ejes de simetría, tres binarios y cuatro ternarios:

Los planos de simetría forman un molde vacío que puede rellenarse con los módulos:

Este es el módulo, tetraedro no regulas cuyos vértices son uno de los del tetraedro regular (V), el centro de una arista (L), el de una cara (P) y el del poliedro (O):

El tetredro truncado TT (3.6.6), que en la figura está inscrito en el básico:

Y su módulo:

Desplazando los planos de corte, obtenemos un octaedro O (3,3,3,3):

Y su módulo es:

Pero todavía podemos trocear más el tetraedro básico, por ejemplo, inscribiendo en él un tetraedro truncado dual, que asoma en la figura que sigue, porque a él pertenecen los triángulos centrales de las caras del mayor. Y ya metidos en faena, seguimos troceándolo, para rellenarlo con más tetraedros truncados y otros tetraedros diminutos:

Penetrando en el corazón del tetraedro de partida, hay en él  un tetraedro dual, que apenas asoma por sus vértices en los centros de sus caras. Y otra vez lo rellenamos, esta vez con tetraedros y octaedros:

Detengámonos para extraer una conclusión. Con cortes paralelos a las caras obtuvimos primero un tetraedro truncado y sobraron cuatro tetraedros menores. Con cortes más profundos, un octaedro y cuatro tetraedros medianos. Y después, un conjunto de ambas combinaciones (tetraedros truncados y tetraedros, por un lado; tetraedros y octaedros, por otro).

Lo que hemos logrado subdividiendo se puede conseguir también yuxtaponiendo indefinidamente. De manera que hemos descubierto de nuevo dos compactaciones espaciales que ya habíamos visto, capaces de extenderse indefinidamente.

En la figura que sigue se ven sucesivos poliedros inscritos en el básico, y sus módulos, limitados por los planos de corte correspondientes:

Y estos son los módulos, vistos por separado; puede verse que todos proceden de la intersección de dos módulos duales, variando sus tamaños respectivos:

En el archivo que contiene el capítulo completo se hace intervenir también a los otros poliedros del sistema en las descomposiciones. Así, el octaedro truncado OT(4,6,6), como desde luego el octaedro de que deriva, puede descomponerse de este modo:

Los medios octaedros se componen de módulos del octaedro, aunque naturalmente contienen sólo la mitad de ellos. Los poliedros de la malla y sus fracciones que contengan módulos completos pueden recombinarse. De forma que con esas fracciones puede reconstruirse el módulo del tetraedro de partida:

Con esto hemos visto las verdaderas piezas simples de uno de los tres sistemas isótropos de simetría espacial. Aún nos quedan otros dos.

(sigue)