Y así como en el plano el sistema cuadrado tenía un módulo elemental discutible, porque tratándose de un triángulo rectángulo isósceles no era tan elemental, porque podía descomponerse indefinidamente en triángulos semejantes menores (cosa que no ocurría con el sistema triangular), en el espacio el sistema cúbico sí tiene un módulo irreductible.
Utilizando sus planos de simetría, descompongamos el cubo en sus piezas más simples:
Estos son sus ejes de simetría, seis binarios, cuatro ternarios y tres cuaternarios (obsérvese de paso que el producto del número de ejes por su grado de simetría es siempre 12, mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4, que son dichos grados):
Y estos son los planos que forman las celdillas en que se alojan los módulos:
He aquí el módulo. Los vértices de esta pirámide triangular, irreductible por carecer ella misma de elementos de simetría, son respectivamente O, centro del cubo, P, centro del polígono de una cara, L, centro de un lado del polígono que es arista del cubo, y V, vértice en todos los elementos citados:
El cubo truncado CT (3,8,8) tiene este módulo:
Y este es el del cuboctaedro CO (3,4,3,4):
Módulo del octaedro truncado OT (4,6,6):
El octaedro O (3,3,3,3), figura dual del cubo, puede ser inscrito en él, coincidiendo sus vértices con el centro de las caras del cubo. Y este es el módulo resultante, inscrito en el del poliedro básico:
Todavía podemos considerar un octaedro más pequeño, cuyo módulo aparece en la figura siguiente. La razón para incluirlo es que junto a los anteriores aparece en las redes espaciales que ya vimos aquí:
Se muestran ahora, inscritos en el cubo básico, todos los poliedros anteriores y sus módulos correspondientes:
La descomposición de la red cúbica que producía aquellas combinaciones de poliedros de dos clases que llenaban el espacio se traduce igualmente en el acoplamiento de sus módulos en el gran módulo básico. Las dos combinaciones superiores de la imagen siguiente, del cubo truncado y el cuboctaedro con octaedros menores, contienen un módulo de cada una de las piezas, con tamaños adecuados para su encaje. Las de la parte inferior de la figura revelan otra forma de ver el acoplamiento de los mismos módulos en el módulo básico. Es interesante la figura central, porque en ella, contra lo que pueda parecer por un efecto de perspectiva, se acoplan dos módulos idénticos del octaedro truncado, el poliedro de Lord Kelvin, que como vimos también allí puede llenar por sí solo el espacio:
Los acoplamientos de tres poliedros distintos que hemos visto en este otro lugar también nos llevan a un acoplamiento semejante de módulos. Respectivamente corresponden en la figura a una combinación de rombicuboctaedro RCO (3,4,4,4), cubo C (4,4,4) y cuboctaedro CO (3,4,3,4), y en la parte inferior gran rombicuboctaedro GRCO (4,6,8), cubo C (4,4,4) y octaedro truncado OT (4,6,6). Claro que los cuartos de pequeños cubos que completan el relleno en ambos casos contienen cada uno doce de sus módulos:
Los módulos de los poliedros considerados se obtienen de la intersección de módulos básico básico y dual de diferentes tamaños:
Y de tres módulos, en los casos en que interviene también el rombododecaedro:
Ya sólo falta por explorar el sistema del dodecaedro. Si no se produce alguna sorpresa...
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