El dibujo en la ingeniería (V-d)

El viaje iniciado en este otro lugar, con la intención de "comprimir" la proyectividad en una práctica unitaria, tiene una meta corta (la síntesis apretada en unas pocas ideas básicas), pero un desarrollo problemáticamente largo. En este fatigoso esfuerzo hemos llegado, en el episodio anterior, a presentar un teorema importante, cuya utilidad teórica y práctica intentaré mostrar.

Se trata del Teorema de Pohlke, que en su más simple enunciación dice:

Dadas 3 líneas en el plano X'Y'Z' no coincidentes e incidentes en un punto, existe un triedro trirrectángulo XYZ en el espacio que puede transformarse en la tres líneas por proyección (se entiende que proyección paralela).

Así como tres líneas del espacio trazadas desde un punto y perpendiculares entre sí se acomodan a las aristas de un cubo, tres líneas del plano trazadas desde un origen, formando entre sí ángulos cualesquiera, pueden también acomodarse a las aristas de una imagen del cubo.

Si además definimos sobre las líneas de ambos casos tres unidades, iguales en el primer caso, definiendo exactamente un cubo, y en el segundo caso de dimensión arbitraria, y resulta que objeto e imagen son proyectivos entre sí en una proyección paralela, daremos por válida la imagen, como una perspectiva axonométrica, que casi con toda seguridad será oblicua, como una sombra alargada por el sol de la tarde.

Este teorema nos da una pista para dibujar con toda sensillez croquis rápidos en perspectiva. Basta con trazar tres rectas cualesquiera desde un punto del plano y aplicarles tres escalas arbitrarias para tener un sistema de referencia válido. Con un poco de práctica descubriréis qué direcciones y qué escalas producen resultados plausibles con poca deformación.

Al fin y al cabo, en el cine, el único espectador cuyo ojo no percibe una imagen deformada en la pantalla es... el objetivo de la cámara de proyección. Por eso nadie ve mejor la película que el operador de esa cámara, mirando a través de esos agujeros que hay en la cabina.

Partiremos de una imagen del cubo realizada con ejes y escalas arbitrarios, para compararla con un cubo real.

"...en el principio era el Cubo..."

Imaginemos un rayo visual que atraviesa la cara delantera del cubo en un punto que coincide con el vértice oculto:

Sea ahora el cubo real (figura de la derecha en el dibujo que sigue) apoyado sobre el plano. En la cara delantera hemos localizado el punto de incidencia del rayo y el vértice de la cara posterior en que también incide. Para ello tenemos en cuenta que la proyección paralela conserva las proporciones en el objeto y en su imagen. Par fijar la idea, observad que el punto queda en ambas figuras un poco más alto de la mitad de una arista y casi a un tercio de la otra.

La línea de trazos y puntos de esta figura es el rayo visual considerado en la página anterior.

Si miramos desde la derecha del cubo en dirección perpendicular al rayo veremos la imagen de la izquierda; un giro en ángulo recto ha colocado el rayo paralelo al plano de dibujo.

Si ahora miramos esta nueva figura en la dirección del rayo, veremos la figura inferior. Otro giro ha colocado el rayo de punta. Ved que la figura es del todo semejante a la de la página de antes, pero aquí el cubo no parece deformado: 

En las imágenes anteriores, trazamos un plano perpendicular al rayo por uno de los vértices. En la imagen de la izquierda aparece de canto, y de frente en la vista inferior, en la que corta al cubo en un triángulo que en ella aparece de frente, en su verdadera magnitud:

Circunscribimos una circunferencia a ese triángulo. Nuevamente de frente en la vista inferior y de canto a la izquierda:

Aprovechando las posiciones sobre las aristas de los vértices del triángulo, lo trasladamos a la imagen deformada del cubo:

Ahora podemos comparar ambos triángulos y vemos que a la circunferencia circunscrita a uno corresponde, punto por punto (hasta once localizamos, incluyendo el centro), una elipse en el segundo:

Así se corresponden la circunferencia y la elipse, y podemos trasladarla al cubo deformado:

La elipse, de frente en la imagen inferior, está de canto en la superior. Podemos ver en ella que es la sección oblicua de un cilindro recto:

Así podemos situar el cilindro en las vistas del cubo, en relación con la circunferencia. La cadena de vistas, cada una de la cuales deriva de la anterior con un giro en ángulo recto, comienza arriba a la izquierda, pasa a la vista inferior del mismo lado, de ella a la superior derecha, para terminar en la inferior derecha, en que ya vemos el cubo deformado, proyección oblicua, por lo tanto, del cubo:

Ufff... ardua visión gráfica del teorema. Una notación que ideé después permite ver más clara la relación entre las vistas encadenadas. Pero cuando elaboré esto aún no la utilizaba. Si me da tiempo, todo llegará.

En el próximo episodio, una muestra de todas las posibilidades de esta proyección paralela, con las axonometrías a que da lugar. Por lo tanto...

(sigue)