En las páginas que siguen la resolución no es muy buena. Mejora algo en el documento PDF de este enlace. La razón es la pérdida de los archivos originales, y la finura de algunas líneas pierde nitidez (o desaparece) en el escaneado.
Este capítulo y el siguiente son un resumen de la aplicación del método de vistas encadenadas (la razón de ser de casi todo el libro) a la resolución de problemas de trazado. Ahora lo utilizaremos para dibujar las líneas de intersección de dos superficies.
En esta ilustración vemos varias operaciones booleanas (unión, intersección y diferencias) entre dos sólidos que comparten puntos del espacio.
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Pero no vamos a tratar ahora de los sólidos sino de sus superficies, Si la intersección de dos sólidos es otro sólido que contiene los puntos compartidos, la de sus superficies es la línea que forman los puntos comunes a ambas.
Dos superficies continuas se cortan en una línea (aunque pueden cortarse en más de una, o en ninguna):
Otra superficie cortará a esa línea en un punto (también puede no cortarla, o cortarla en varios). En este caso cortamos por un plano la intersección de dos superficies cilíndricas de ejes que se cruzan perpendicularmente:
Los planos son las superficies auxiliares más sencillas para obtener intersecciones con otras. Los cambios del punto de vista nos facilitan ver esas intersecciones de frente o en perspectiva, aprovechando la vista intermedia en que colocamos los planos de frente:
Diferentes problemas sugieren diferentes estrategias. Para hallar la intersección de dos conos utilizaremos los planos que pasan por los vértices de ambos, planos que forman un haz de eje que pasa por dichos vértices. Como los cortan en generatrices rectas, en cada plano de este haz hay dos generatrices de cada cono. Sus intersecciones definen puntos de la intersección.
Igualmente se trata el caso de un cilindro y un cono. El cilindro puede considerarse un cono cuyo vértice se aleja infinitamente, así que el eje del haz de planos pasa por el vértice del cono y es paralelo al eje del cilindro. Generatrices de ambos definen los puntos de la intersección. Todo el arte consiste en facilitar su búsqueda con cambios del punto de vista.
Lo mismo si se trata de dos cilindros. Ahora los vértices se alejan al infinito y el haz de planos es paralelo a ambos ejes.
Un toro y un cono: planos perpendiculares a sus ejes cortan a ambos en circunferencias. Sus intersecciones nos dan la solución, plano a plano y par de puntos a par de puntos.
Otro caso con dos conos. Todo el arte es colocar de canto el haz de planos poniendo de punta su eje.
Cilindro y cono de ejes que se cortan: haz de planos paralelos al eje del cilindro por el vértice del cono.
Dos conos de vértice común: esferas con centro en él que definen en ambos circunferencias que se cortan. Pero en este caso la intersección es un par de rectas, generatrices compartidas, por lo que basta una sola esfera y dos circunferencias. Un solo punto basta para definir cada generatriz, porque otro es el vértice.
Cilindro y cono de ejes que se cortan: esferas con centro en la intersección y que determinan circunferencias que se cortan.
Un cilindro corta a un elipsoide de revolución: planos perpendiculares al eje de este e intersección de elipses y circunferencias.
Dos tejados a dos aguas en cruz y una bóveda elipsoidal: fea arquitectura pero fácil intersección, cortando por planos horizontales y definiendo curvas de nivel.
Ya queda poquito...
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