Capítulo IV
Proyección del espacio
Entiéndase, claro está, que no se trata de proyectar el vacío, sino el espacio de las formas en el espacio, esto es, un conjunto de relaciones espaciales entre puntos, líneas y superficies, porque los sólidos están limitados por ellas. Así que estableceremos las condiciones que sobre un plano se han de cumplir para que los elementos del espacio en él representados se correspondan proyectivamente con los tridimensionales correspondientes.
No se trata de espiritismo, ni podemos pensar en dar vida a un fantasma. Pero en el universo de los objetos que pueden ser descritos geométricamente este problema no carece de sentido, y de hecho es lo que hacemos continuamente cuando convertimos en real un edificio o un mecanismo a partir de los planos de un proyecto. Poder pasar del plano al espacio tal como pasamos del espacio al plano exige entre ambos una correspondencia biunívoca, en ambos sentidos.
Restitución se llama esa figura.
Habremos de ver en qué condiciones se cumple esa correspondencia del objeto con su proyección o proyecciones. Para empezar, hemos de partir de lo más simple: si el espacio puede ser representado con alguna malla de referencia, y queremos representar esa malla en el plano a priori, sin haber realizado la proyección, ¿qué requisitos se han de cumplir para asegurar que es proyectiva con la malla espacial deseada? ¿cómo podríamos hacerla corresponder exactamente con la sombra de la malla corpórea?
De esas cuestiones se ocupa, con la intención del propio autor de aclarar sus propias intuiciones, este capítulo IV del libro cuya exposición comencé aquí, que sigue al capítulo III anterior, dedicado a la proyección de entidades planas, intentando extender sus conclusiones al espacio tridimensional. Puede descargarse aquí.
Este capítulo es seguramente el más difícil del libro, porque responde más al método de mi propia investigación que a un procedimiento expositivo. De todos modos, para decir en pocas palabras lo pretendido, se buscaba averiguar las condiciones que habría de cumplir una malla plana, definida por tres ejes, con tres unidades y tres puntos límite, que por lo tanto pueden ser proyecciones de tres ejes del espacio y sus unidades, para que sean la proyección única, es decir, con un solo centro de proyección, de una malla espacial que cumpla estas condiciones:
Condiciones que son las que definen una malla cartesiana, homogénea e isótropa.
- que los tres ejes del espacio sean ortogonales
- que las tres unidades sean iguales
Alternativamente, quizá puedan, si no cumplen alguna de ellas, definir un espacio homogéneo, pero no isótropo: un espacio euclídeo.
Para empezar, proyectemos tres rectas paralelas, con un punto impropio común, cada una con su propia unidad de medida:
En principio, en ambos casos hemos obtenido la base de una malla plana como la definida antes, y habrá que averiguar por qué una define el espacio buscado y la otra no.
Completemos en un sólido las unidades de la malla espacial, uniendo los puntos unidad para formar un tetraedro, con sus aristas, puntos medios, caras triangulares y medianas. Y proyectemos el tetraedro:
Y luego de construir con esas tres unidades un cubo, proyectémoslo también:
Nada que objetar a lo realizado, que resuelve el problema directo, pero vamos ahora a abordar el problema inverso.
Utilicemos la misma imagen de la figura 133. Es decir, las arístas que podría proyectar un hipotético tetraedro. Ahora ignoramos la posición de los puntos medios de esas aristas y por lo tanto los correspondientes puntos límite. Así que podemos asignarles una posición arbitraria. Pero entonces, si las tres aristas que suponemos representantes del espacio cartesiano nos permiten infinitas posiciones para sus puntos medios, el número de casos posibles es triplemente infinito, aunque hayamos definido inequívocamente las tres aristas unitarias.
Conseguir que el triedro que proyecta la figura pueda ser trirrectángulo obliga a que ninguna sección del mismo sea un triángulo obtusángulo. Esto se cumple en la figura. En ella hemos definido los puntos límite, y con ello los puntos medios, de forma que haya secciones del triedro que sean triángulos equiláteros:
Podremos completar la imagen de ese hipotético tetraedro, con los puntos medios de sus aristas y las medianas y paralelas medias de sus caras.
¿Es la imagen proyección de algún tetraedro del espacio? Indudablemente, sí, porque si unimos los cuatro vértices de la imagen con cualquiera de los triplemente infinitos puntos de vista posibles del espacio, y sobre los rayos proyectantes marcamos cuatro puntos arbitrarios, esos séxtuplemente infinitos puntos definen otros tantos tetraedros. Que sus lados tengan las medidas que yo quiera y sus ángulos también es harina de otro costal.
Pero naturalmente, cada uno de esos tetraedros define un espacio euclídeo, homogéneo. Queda por ver con qué requisitos puede ser cartesiano, cumpliendo las dos condiciones necesarias: la primera, tener ejes ortogonales (si queremos basarnos en la malla ortogonal del tetraedro de partida, porque para restituir el tetraedro regular buscaríamos que sus ángulos fueran de 60º); la segunda, que las tres aristas ortogonales que los definen sean de igual medida.
Ambas condiciones se han tratado sucesiva e independientemente.
Toda la investigación, cuyas imágenes reproduzco y cuya explicación completa omito aquí (pero que se halla en el documento que podéis bajar) se halla en las figuras que siguen.
Si las aristas son iguales, los tres vectores unitarios que las definen serán radios de una esfera. En la figura 147 se representan tres vistas ortogonales entre sí (en las direcciones A, B, y C) de dicha esfera y de uno de los vectores.
Pero como muestra la figura 148, en la que se han llevado los vectores de la imagen sobre un solo plano, dado un punto de vista cualquiera hay infinitas esferas que permiten situar vectores del espacio que proyecten la medida de los del plano.
La figura siguiente muestra una vista ortogonal A del espacio inmediato a la proyección, en la que se proyectan conjuntamente el punto de vista, los rayos proyectantes, los vectores del espacio y, naturalmente, los vectores proyectados que ya estaban en el plano. ¿Qué veremos desde las direcciones B, C, D, E, F, G paralelas al plano?
Vista desde B:
Vista desde C:
Vista desde D:
Vista desde E:
Vista desde F:
Vista desde G:
Un tanteo para hacer coincidir los puntos de vista para los tres vectores, lo que no se logra (se han supuesto abatidos los puntos de vista en los planos de proyección de los tres vectores, y sobre los arcos capaces de ellos para un ángulo dado se ha buscado un punto de vista común compatible para los tres; reconozco que la figura es difícil de interpretar para un profano):
Aplicamos al tetraedro completo las proyecciones tal como se han definido. Dos de los triángulos del triedro son iguales y equiláteros, pero cada uno tiene su propio punto de vista (como aclaración, se han abatido sobre el plano de proyección los planos proyectantes que contienen los respectivos puntos de vista, no compatibles, y los horizontes correspondientes, que son las líneas en que apoyamos esos planos para abatirlos):
Aquí se logra compatibilizar los puntos de vista para todas las caras del tetraedro, pero solo una de ellas es regular:
Sigue a continuación el triedro proyectante de los horizontes, con sus caras abatidas (punto de vista, rayos proyectantes de los puntos límite y la propia proyección, formando un tetraedro) correspondiente a la figura anterior. (El triedro que forman los ejes de la malla es idéntico al de los horizontes, puesto que las caras de ambos son paralelas):
El tetraedro (triedro proyectante y su sección por el plano de proyección), materializado en un sólido recortable.
Y en la figura inferior, dos posibles interpretaciones del tetraedro proyectado, renunciando ya a que la representación sea cartesiana:
Si un triángulo no es proyección unívoca de otro, un cuadrilátero siempre lo es. Así que podemos intentar partir de dos cuadriláteros cualesquiera para representar dos caras de un cubo. ¿Podremos lograrlo con un solo punto de vista? la respuesta es que no, porque solo una perspectiva deformada consigue cpmpatibilizarlos:
De modo análogo a lo visto para el tetraedro, podremos obtener una perspectiva euclídea, porque la figura restituida dificilísimamente será un cubo y prácticamente siempre un paralelepípedo oblicuo. En la figura inferior siguiente se materializa en un recortable el triedro proyectante de los horizontes que hace coincidir los tres puntos de vista.
En lo que sigue, el triedro proyectante tiene ángulos de 30º:
El susodicho triedro proyectante, aislado de la figura del cubo:
Y el recortable que lo materializa:
La conclusión que se extrae de este largo y cabezón análisis es que tres ejes, tres escalas y tres puntos límite, arbitrariamente elegidos sobre un plano, pueden servir para representar el espacio. Pero sin elcumplimieento de otras restricciones, este espacio no será cartesiano, es decir, continuo, homogéneo e isótropo. podremos a lo sumo lograr que sea euclídeo, renunciando a la isotropía.
Se tratará de un espacio deformado, tal vez estirado o aplastado en alguna dirección. Incluso la restitución nos puede conducir a un espacio incoherente. Las sombras chinescas son un ejemplo de cómo puede engañarnos una proyección, pudiendo sorprendernos una restitución inesperada:
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| El conejo (sombras chinescas), óleo de Ferdinand du Puigaudeau |
El gato restituido podría ser cualquier cosa: un gato deforme de mil modos, una silueta plana o muy diferentes gatos fragmentados.
En los siguientes capítulos veremos que la restitución sí es posible, cumpliendo algunas restricciones, y sobre todo si disponemos de más de una imagen plana.
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