Perspectiva unificada XII

Capítulo X

Modelos corpóreos
 

Aquí empezó la cosa...

...y aquí acaba. Salvo este capítulo extra, prometido, cuyas figuras pueden recortarse y componerse, modelos para ayudar a repasar los conceptos y las figuras del libro.

Para ello las páginas pueden imprimirse en tamaño A4.

Y pueden descargarse en este enlace.

El cubo, con sus tres direcciones ortogonales, con la apilabilidad infinita que las conserva y prolonga indefinidamente, es la base de la concepción cartesiana del espacio. 

Las direcciones que controla esa unidad cúbica no son únicamente esas tres ortogonales de sus aristas, sino que a ellas hay que añadir las de sus cuatro diagonales y las seis de las diagonales de sus caras. Eso nos da trece direcciones, que se proyectan al infinito en trece puntos impropios. Tal es la constelación que nos haría controlar desde el firmamento nuestro espacio, si pudiéramos materializarlos en otros tantos astros.

Y al igual que una fotografía del firmamento es su proyección plana desde un punto de vista, podremos proyectar esos trece astros sobre un plano desde un punto cualquiera y tendremos sobre él trece puntos límite para controlar el espacio.

Como esas direcciones están en el cubo en forma de sus ejes de simetría (los tres ejes cuaternarios paralelos a sus aristas, los cuatro ternarios que son sus diagonales y los seis binarios paralelos a las diagonales de sus caras), cualquier sección plana del cubo que corte a esos ejes materializará las proyecciones de los trece astros imaginarios que las gobiernan desde el infinito.

Cada sección del cubo, por lo tanto, nos proporciona un sistema de proyección central, un procedimiento para construir perspectivas, sea proyectando desde el mismo centro del poliedro, sea haciéndolo desde un vértice.

Aprenderemos entonces a cortar el cubo, pero señalando, a diferencia de la imagen que sigue, los ejes y planos de simetría que seccionamos.

Un espacio cartesiano es continuo, homogéneo e isótropo. Todos sus puntos y todas sus direcciones son equivalentes. Quiere esto decir que podemos trasladarnos de un lugar a otro y girarnos en cualquier dirección sin que cambien sus propiedades geométricas. Por eso se toma como unidad de medida. Por eso mismo elegimos, para realizar cualquier proyección, la figura del cubo, situando el punto de vista en uno de sus vértices y tomando las aristas que concurren en él como direcciones que permiten situar y proyectar los puntos principales del infinito, siendo las caras concurrentes las que proyectan los horizontes de ese espacio.

Para comenzar, no partiré del cubo, sino de un paralelepípedo cualquiera, en el que también hay aristas, diagonales de caras y diagonales interiores del propio sólido. El espacio regido será un espacio euclídeo.

Así que ese espacio euclídeo, continuo y homogéneo, pero no necesariamente isótropo viene dado por tres direcciones y tres escalas arbitrarias. El punto de vista en ese caso reflejará un espacio deformado cuya unidad es un paralelepípedo oblicuo. Construiremos una sección del mismo que corte tres aristas contiguas, cuidando de marcar las direcciones de las diagonales seccionadas:

También podemos considerar un espacio que mantenga la ortogonalidad en tres direcciones, con escalas sin embargo arbitrarias. Y también será un espacio euclídeo:

Por último, esta será la figura para proyectar un espacio cartesiano. Las tres aristas cortadas son ortogonales, y además nos aseguramos la misma escala de medida sobre ellas:

Para construir los sólidos que materializan las figuras anteriores las facilito como recortables. Empezamos por el paralelepípedo oblicuo:

Y a continuación, los otros dos sólidos:

De igual modo podemos construir los sólidos completos. Siguen los paralelepípedos oblicuo y recto que regulan los espacios euclídeos. En ambos se ha señalado la sección que corresponde al plano de proyección:

 
Por último, el cubo que mide el espacio cartesiano, Señalando también su sección por el plano del cuadro:

Este rectángulo, recortado, plegado sobre su paralela media y pegadas ambas caras, servirá para situar, como plano del cuadro, el tetraedro que forman el punto de vista, los planos que proyectan los horizontes y el propio cuadro:



Y este será el tetraedro que podemos hacer coincidir sobre él::

 
A otra escala, construiremos el plano del cuadro, pero ahora completado con todos los horizontes y los trece puntos límite:

  
Construiremos también las dos partes del cubo seccionado:

Este otro cubo cortado nos dejará ver todos los ejes y planos de simetría:

 
Construid también estas figuras para ver cómo los sólidos cortados nos proporcionan informaciones interesantes sobre las relaciones del espacio con sus proyecciones planas.

Más piezas para el puzzle:

Y otras más:

En este cubo cortado podemos apreciar muy bien los puntos de fuga que utilizamos en las proyecciones centrales:

Y aquí dejo la otra parte del cubo. Comprobad las coincidencias. Es el espacio proyectado en el espejo retrovisor. El semiespacio que no vemos hacia delante, como si un ojo pudiera ver hacia el cogote:

 
Aquí y así termina el libro. En la corta edición que hizo la universidad, y que al parecer se puede adquirir aún, lo acompañan además unas láminas que reproducen en cartulina de tamaño A4 las imágenes más ilustrativas: los recortables y las perspectivas en relieve. Me está apeteciendo ponerlas también a vuestra disposición, así que, tal vez, como una coda...

(continúa un poquito más)