¿Cuáles son los misteriosos cuerpos ("poliedros achatantes") que eliminan de los poliedros básicos de cada sistema "lo que sobraba" para obtener los extraños "poliedros achatados"?
¿Puede extenderse el estudio a los sistemas planos de simetría construidos sobre el triángulo equilátero y el cuadrado?Comenzaré respondiendo a la primera, porque enlaza directamente con lo expuesto allí.
Si de intersecciones entre los poliedros básico y dual resultaban los que he llamado "polipoliedros" y de la triple intersección de ambos con los romboedros correspondientes los "rombopolipoliedros", habiendo contabilizado siete de los primeros y cuatro de los segundos, quedan por encontrar todavía dos poliedros semirregulares: son los achatados.
Comencemos por ver el del sistema cúbico, CA (3,3,3,3,4), inscrito en el cubo, sobre el que están sus caras cuadradas:
Para ver el origen de sus caras, coloreemos de rojo las que corresponden al cubo y de amarillo las pertenecientes al octaedro dual, enfrentadas a los vértices del primero. Todavía quedarán sin colorear veinticuatro caras triangulares frente a las aristas de éste. Deben pertenecer al poliedro que buscamos:
De cada una de las caras invisibles de ese poliedro misterioso conocemos tres vértices, coincidentes con los de las caras rojas y amarillas del cubo y el octaedro. Es fácil obtener los vértices que les faltan, dos más para cada una, prolongando sus alturas que se apoyan en las caras de color hasta que se corten entre sí. Allí están esos vértices, y habremos construido el poliedro misterioso, pues sus caras se prolongan en las laterales de pirámides cuadrangulares y triangulares cuyas bases son las coloreadas. Los triángulos equiláteros de las caras transparentes se convierten así en pentágonos irregulares:
Lo que aparecía de puntos en la imagen inmediatamente anterior, se completa, de línea llena, en la siguiente, en la que se mantienen, ahora punteados pero igualmente fantasmales, los triángulos de partida:
¡Fuera fantasmas! Eliminando la imagen de esos triángulos, aparece en todo su esplendor el "poliedro achatante" del sistema del cubo:
A la falta de simetría especular de este extraño poliedro debe esa misma carencia el cubo achatado. Con poco esfuerzo identificaremos los vértices antiguos y nuevos de sus caras pentagonales irregulares.
De forma totalmente análoga procederemos en el sistema dodecaédrico. Este que sigue es el dodecaedro achatado:
Las caras pentagonales del dodecaedro achatado DA (3,3,3,3,5) coinciden con las del dodecaedro en que está inscrito. Las del icosaedro que lo corta son las amarillas que se sitúan frente a sus vértices, y los restantes sesenta triángulos que por parejas se enfrentan a las aristas pertenecen al poliedro buscado.
Como en el caso anterior, encontraremos los vértices que faltan prolongando alturas de los sesenta triángulos vacíos hasta que se corten entre sí. Esos vértices están en las intersecciones, perteneciendo a pirámides pentagonales y triangulares. Las sesenta caras se convierten de triángulos en pentágonos, añadiéndose dos a los tres vértices equidistantes que ya existían en cada una:
Las nuevas aristas, de puntos en la imagen anterior, son de línea llena en la siguiente, en la que mantenemos punteados los triángulos primitivos:
Suprimidos esos triángulos, aparece el "poliedro achatante" del sistema. Algo me recuerda a una chirimoya:
¿Y qué ocurre en el sistema tetraédrico?
Aquí el poliedro correspondiente es un icosaedro regular I (3,3,3,3,3). Inscrito en el tetraedro básico, cuatro de sus caras coinciden sobre las de éste. Otras cuatro son del tetraedro dual. Hemos de localizar donde están las doce caras que faltan.
Coloreando de rojo las que coinciden sobre el básico y de amarillo las del dual, enfrentadas a los vértices de aquél, restan doce caras triangulares apareadas, enfrentadas a su vez a las aristas del poliedro envolvente.
El correspondiente apiramidado de las caras de color prolongando las vacías nos deja ver dos nuevos vértices en cada una de ellas:
Ahora representaré de línea llena las nuevas arista y puntearé las caras vacías en la imagen anterior:
Finalmente, elimino el punteado y veremos claramente el "poliedro achatante" de este sistema:
Como en el sistema cúbico, la solución es un dodecaedro. Aquí sí posee simetría especular, pero tampoco es regular. Tres vértices de cada cara forman un triángulo equilátero. Los otros dos son vértices de las pirámides triangulares añadidas al achatado. Podemos comprobar que forma parte de la serie de dodecaedro circunscritos al cubo fotografiada en la entrada Balones de fútbol.
...
Una vez localizados estos poliedros "achatantes" que completan el estudio en el espacio, resta contestar a la segunda pregunta planteada. Para facilitar la continuidad de esta serie, comenzaré por abordar, en los sistemas planos, los mosaicos equivalentes a los poliedros achatados.
La serie de achatados en el espacio comprendía:
Tetraedro achatado (icosaedro) I (3,3,3,3,3)
Cubo achatado CA (3,3,3,3,4)
Dodecaedro achatado DA (3,3,3,3,5)
A los que añadimos ahora el mosaico plano:
(3,3,3,3,6)
Helo aquí, junto a su "mosaico achatante":
Como la analogía con los poliedros convexos es total, procederemos a colorear de rojo los hexágonos y de amarillo los triángulos tangentes a tres de ellos:
"Apiramidemos". Ahora las pirámides quedan aplastadas contra el plano. En la vista siguiente, la figura de abajo es la misma de arriba, si ponemos de línea llena la de puntos y eliminamos los polígonos coloreados:
También ocurre algo análogo en el sistema del cuadrado, y podemos comparar estas dos formas:
Cubo achatado:
CA (3,3,3,3,4)
Mosaico correspondiente:
(3,3,4,3,4)
A primera vista no es fácil relacionar el mosaico "achatado" y su "achatante":
Coloreemos los cuadrados:
Y ahora, señalemos las pirámides aplastadas. Aquí también se obtiene la figura inferior eliminando los cuadrados de la superior y convirtiendo en llenas las líneas de puntos:
Con eso basta por hoy, pero os recuerdo que aún no hemos mostrado la totalidad de los mosaicos planos.
Volveré sobre ello.
(sigue)
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