Al final de esta entrega definitiva vuelvo a dejar los enlaces para cada uno de sus capítulos.
Este último pretende ser una síntesis de lo más esencial. Veremos que las proyecciones que hemos analizado no agotan todas las posibles, siempre que aceptemos perspectivas euclídeas, proyecciones planas de espacios homogéneos pero no isótropos.
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| Rorik Smith (tomado de MarietaEstateQuieta) |
Una perpectiva paralela euclídea, como afirma el teorema de Pohlke, es definida por tres rectas y tres escalas arbitrarias. Tres direcciones del plano definidas por dos ángulos a partir de un origen, y tres unidades de medida. Son cinco datos, pero en realidad estamos dando otros tres, que son los puntos del infinito de las tres rectas.
Pero si en lugar de tres puntos del infinito definimos las distancias al origen de tres puntos límite ¿qué tipo de perspectiva estaremos definiendo?
Veamos. Cuando sobre una recta medimos distancias iguales, de igual modo que la unidad se puede repetir infinitamente se puede tambien subdividir en cualquier número de partes también iguales, Habrá por lo tanto un punto del infinito y un punto medio de la unidad. Decimos que ambos están armónicamente separados de los puntos origen y unidad, o que forman una cuaterna armónica.
Pero si hacemos corresponder proyectivamente estos cuatro puntos (origen, medio, unidad e infinito) a otros cuatro en los que desplazamos el infinito hacia la unidad, también desplazaremos hacia ella el punto medio, manteniéndose la cuaterna armónica,
En tal caso, ya no podremos aplicar medidas iguales para obtener los puntos correspondientes a los de la recta original, porque las medidas se encogerán infinitamente hacia el punto límite mientras se alargan hacia el origen.
Y además de los cinco datos que, al obviar los puntos del infinito, parecían definir el primer caso (tres ejes definidos por dos ángulos y tres unidades sobre ellos), tenemos tres más, que son los puntos límite correspondientes a aquéllos.
Los tres puntos de fuga sobre los ejes definen un triángulo principal, cuyos lados son los horizontes de los planos coordenados definidos por esos ejes. Todas las rectas paralelas a esos horizontes son paralelas al plano de proyección, y los planos paralelos a él cortan a esos planos coordenados en un triángulo semejante al primero: el triángulo de las trazas.
Con estos elementos podemos construir perspectivas centrales euclídeas. Que sean centrales significa que se proyectarán sobre el plano del dibujo desde un punto propio, no del infinito, mediante una radiación de rectas no paralelas. Que sean euclídeas, no cartesianas, significa que los ejes coordenados del espacio que se proyectan, no serán ortogonales, ni utilizarán escalas iguales. Se trataría de un espacio estirado y/o aplastado, homogéneo pero no isótropo, y en lugar de un cubo su unidad estará representada por un paralelepípedo oblicuo.
Veamos lo que relaciona a uno de los ejes del espacio con su proyección sobre el plano, y en general a cualquier recta con su proyección.
En el caso de la proyección paralela, se mantienen las proporciones entre ambas. Los puntos del infinito siguen siendo del infinito, y los puntos medios se conservan como tales. Pero en las proyecciones centrales no ocurre lo mismo: Al punto del infinito le corresponde ahora un punto propio, y tampoco el punto medio se conserva en la mitad de la unidad proyectada, sino que se acerca al mismo punto unidad que el infinito.
Pasemos a ver en qué condiciones la perspectiva pasa a ser cartesiana, esto es, lo que se necesita para que la unidad del espacio pase de paralelepípedo oblicuo a cubo.
En primer lugar, el triedro que forman los ejes debe ser trirrectángulo, y eso se consigue cortándolo por un plano paralelo al del cuadro, o por el cuadro mismo, y separando las caras triangulares obtenidas, que han de ser triángulos rectángulos, de su posición coincidente en el vértice del triedro, girándolas sobre sus hipotenusas, para devolverlas luego a su posición original, localizando así el punto del plano de proyección sobre el que se levanta el vértice del triedro.
Pero además debemos localizar los puntos de fuga de las bisectrices de las caras del triedro, y para eso basta trazarlas sobre los triángulos rectángulos abatidos y localizar su intersección con el triángulo principal.
Cumpliendo estas dos condiciones, las perspectivas serán cartesianas.
Esto, que vale para las perspectivas centrales cartesianas, cuando el triángulo principal representa horizontes y el vértice del triedro el punto de vista, vale también para las perspectivas paralelas con rayos proyectantes perpendiculares al cuadro (perspectivas axonométricas ortogonales), en las que el triángulo representa las trazas de los planos coordenados y el triedro los ejes y planos coordenados, con origen en su vértice.
A continuación, un método rápido para pasar, proyectivamente, de unos sistemas de proyección a otros. Comenzamos por el paso del "sistema diédrico con línea de tierra" a una axonometría oblicua:
Ahora, los casos de coincidencia de uno de los ejes en ambos sistemas, o de dos de ellos:
Ahora, el paso del diédrico a la perspectiva aérea de tres puntos de fuga:
O a una perspectiva oblicua de dos puntos de fuga:
Un caso más, para pasar proyectivamente de diédrico a perspectiva frontal:
Con esto remataba este conjunto de esquemas que pretendía unificar, mediante la proyectividad, todas las formas de representar sobre un plano un espacio continio y homogéneo (euclídeo) o bien, además, isótropo (cartesiano).
Finalizados estos comentarios sobre el libro en cuestión, os dejo de nuevo los enlaces a los documentos en formato PDF que lo forman:
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