No hay epidemia sin crecimiento exponencial
Y todo crecimiento es exponencial.
La función exponencial es aplicable a todo lo que crece (curva azul). Si el crecimiento no se detiene, en algún momento se dispara. El crecimiento se asocia al tiempo. Sea rápido o lento, la curva exponencial es siempre la misma. Solamente varían la escala horizontal que mide los tiempos y la vertical que lo hace con los tamaños.
Desde luego que también es aplicable a lo que decrece. En este caso su forma es la línea roja.
Supongamos un capital que vale 1 al comenzar el año, y la magia de las finanzas, a través de un fondo de inversión algo cutre ("de bajo riesgo") lo termina con un modesto crecimiento del 1%. El 31 de diciembre se habrá convertido en 1,01.
Este capital ampliado es la base de la función exponencial. El tiempo es el exponente. Si a la nueva cuantía le seguimos aplicando la misma tasa, al año siguiente el capital valdrá 1,0201. Vale, tampoco es mucho. Y al tercer año valdrá 1,030301. Ni se nota la acumulación: todavía no es desbocada. El cuarto año sigue creciendo desesperadamente poco: vale 1,04060401.
Sigamos adelante: ocho años después, 1,08285670562808. La tónica es la misma: ¡pásate a otro fondo! En dieciséis años valdrá sólo 1,17 (dejemos a un lado las trillonésimas de céntimo para no marearnos). 32 años después valdrá 1,37. Alcanzaremos 1,89 en 64 años. Para duplicar el capital hará falta algo más de tiempo, unos 70 años.
Pero en las próximas duplicaciones de tiempo la cosa varía. Tendremos la siguiente correlación:
- 128 años 3,57
- 256 años 12,77
- 512 años 163
- 1024 años 26.612
Se ha disparado.
Claro que un milenio parece mucho tiempo. Pongamos ahora una tasa de ganancia más habitual, el 3% (los técnicos en finanzas dicen que es la que mantiene el paro en una cifra "aceptable"), y preparemos la tabla correspondiente:
- 2 años 1,0609
- 4 años 1,1255
- 8 años 1,2668
- 16 años 1,6047
- 32 años 2,5751
- 64 años 6,6311
- 128 años 43,97
- 256 años 1.933
- 512 años 3.738.170
Tela marinera. Ahora el capital se duplica en 24 años.
Estos crecimientos son los que no acaban de satisfacer a los economistas del sistema. La larga distancia no es su fuerte, sumergidos como están en la inmediatez (¿inmediotez?).
La escala horizontal de los tiempos es la que se alarga o encoge. La mejor herramienta para el análisis es el tiempo de duplicación. 70 para 1,01, 24 para 1,03...
Las unidades, a efectos del análisis, son lo de menos. Los tiempos pueden ser años, meses o días. Los tamaños pueden medir euros, cereales o vidas humanas.
Todo crecimiento exponencial encuentra sus límites. Los de la economía son las crisis de sobreproducción, que cambian el crecimiento en decrecimiento, generalmente con un tiempo de reducción a la mitad mucho más corto.
Porque la función exponencial no solo registra el crecimiento. También el decrecimiento. Y también aquí es la clave del proceso el tiempo de reducción a la mitad.
Para entender el desarrollo del crecimiento exponencial más allá de un límite en que solo vemos en la gráfica una línea casi vertical que crece y crece, necesitamos una herramienta que nos permita "aplacar" esa curva. Y ahí entra en escena otra función que va a reducir drásticamente la escala vertical: la función logarítmica.
Para entender el desarrollo del crecimiento exponencial más allá de un límite en que solo vemos en la gráfica una línea casi vertical que crece y crece, necesitamos una herramienta que nos permita "aplacar" esa curva. Y ahí entra en escena otra función que va a reducir drásticamente la escala vertical: la función logarítmica.
Es la función inversa de la exponencial. Así como esta última se dispara en el tiempo horizontal, la función logarítmica comprime la cuantía vertical. La escala correspondiente se contrae conforme ascendemos por ella, en la misma medida en que se expande la horizontal. Esto convierte la curva exponencial en una recta.
Así pueden representarse cantidades enormes sobre la gráfica.
Así pueden representarse cantidades enormes sobre la gráfica.
Sigue un ejemplo, tomado de ahora mismo, de como crece el contagio del coronavirus en diferentes lugares. Se trata de un crecimiento exponencial (valga la redundancia), porque la tasa de contagio es mayor que uno. Naturalmente, como todo crecimiento, tiene límites. Uno es el número de contagiados, que no puede ser mayor que la población. Además, los contagiados, o curan o mueren, con lo que dejan de ser agentes de transmisión. Los que curan, si son mayoría, están más o menos inmunizados. En todo caso, hay un límite natural en cualquier epidemia.
Aunque la gráfica logarítmica traduce la representación a una recta, lo que vemos es una curva con constantes cambios de pendiente. Es fácil de explicar. Aunque el crecimiento sea exponencial, nunca se trata de la misma función exponencial. La tasa de crecimiento cambia continuamente, y con ella el tiempo de duplicación. Cuando la línea tiende a ser horizontal, la tasa tiende a cero. El valor permanece constante, y el tiempo de duplicación se alarga indefinidamente. El paso siguiente es una tasa negativa. Entonces la función exponencial cambia el crecimiento rápido por un decrecimiento, primero también rápido, después cada vez más paulatino.
En los ejemplos considerados más arriba, crecimientos económicos bajos en periodos de cómputo largos, los tiempos de duplicación solo inquietan si somos conscientes de hallarnos en los límites de capacidad extractiva de energías fósiles y de numerosos materiales indispensables para nuestro modo de vida. El sistema económico en que estamos inmersos no puede funcionar sin crecimiento, y este deja de ser posible.
Mucho más fácilmente se comprende el problema cuando el tiempo en que se mide es corto (días en vez de años), y la tasa de crecimiento supera el 100%. El crecimiento del contagio de un virus es vertiginoso, y si no se reduce esa tasa en la que un solo infectado puede contagiar a más de uno. Por eso hay que disminuir radicalmente la probabilidad limitando drásticamente los contactos. Aún con una baja tasa de mortalidad, si se llega a contagiar todo el mundo podrían morir cientos de millones. Si además colapsan los servicios sanitarios podríamos llegar a tragedias semejantes a las pestes medievales.
Volviendo a la función exponencial, expondré algunos casos que no son frecuentes, aunque tasas mayores del 10% las hemos visto en crecimientos vertiginosos como el de China. Puede observarse como se aplana la curva al acercarse al estado estacionario, y como desciende con el tiempo para tasa negativas.
Gráficas elaboradas con GeoGebra
En los ejemplos considerados más arriba, crecimientos económicos bajos en periodos de cómputo largos, los tiempos de duplicación solo inquietan si somos conscientes de hallarnos en los límites de capacidad extractiva de energías fósiles y de numerosos materiales indispensables para nuestro modo de vida. El sistema económico en que estamos inmersos no puede funcionar sin crecimiento, y este deja de ser posible.
Mucho más fácilmente se comprende el problema cuando el tiempo en que se mide es corto (días en vez de años), y la tasa de crecimiento supera el 100%. El crecimiento del contagio de un virus es vertiginoso, y si no se reduce esa tasa en la que un solo infectado puede contagiar a más de uno. Por eso hay que disminuir radicalmente la probabilidad limitando drásticamente los contactos. Aún con una baja tasa de mortalidad, si se llega a contagiar todo el mundo podrían morir cientos de millones. Si además colapsan los servicios sanitarios podríamos llegar a tragedias semejantes a las pestes medievales.
Volviendo a la función exponencial, expondré algunos casos que no son frecuentes, aunque tasas mayores del 10% las hemos visto en crecimientos vertiginosos como el de China. Puede observarse como se aplana la curva al acercarse al estado estacionario, y como desciende con el tiempo para tasa negativas.
Gráficas elaboradas con GeoGebra
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| Base = 1,3. Tasa de crecimiento, 30% |
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| Base = 1,2. Tasa de crecimiento, 20% |
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| Base = 1,1. Tasa de crecimiento, 10% |
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| Base = 1. No hay crecimiento |
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| Base = 0,9. Decrecimiento, 10% |
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| Base = 0,8. Decrecimiento, 20% |
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| Base = 0,7. Decrecimiento, 30% |
La escala logarítmica, única que permite representar las brutales cifras que ocasiona este virus, muestra el desarrollo de la pandemia en distintos países hasta el 20 de marzo. Atención a las cifras de la escala vertical, con un orden de magnitud que se multiplica por diez en cada escalón.
Tras esta exposición sucinta de los serios problemas que implica un crecimiento exponencial, sigue una noticia sobre un estudio del Imperial College de Londres que analiza las diversas posibilidades de afrontamiento de la pandemia:
Alberto Sicilia
19 marzo 2020
¿Cuánto tiempo va a durar la epidemia? ¿Qué efectos van a tener las diferentes medidas de "distancia social" que se están tomando? ¿Cuáles son las más efectivas?
A estas preguntas tratan de responder epidemiólogos de todo el mundo.
El equipo del Imperial College de Londres, uno de los más reconocidos mundialmente, ha publicado un informe sobre los diferentes escenarios que considera más probables. Aunque sus simulaciones se limitan a Reino Unido y EEUU, señalan que los resultados son válidos para otros países europeos.
Ante cualquier epidemia, hay dos estrategias posibles:
- Estrategia de mitigación: El objetivo es frenar la transmisión de la enfermedad.
- Estrategia de supresión: El objetivo es tender a eliminar del todo la transmisión. El coste social y económico de estas medidas es mucho más alto.
1.- ¿Cómo sería la epidemia si no tomamos ninguna medida?
En el caso de que no hubiésemos tomado ninguna medida social:
- El pico de la epidemia se alcanzaría en torno a mayo de 2020 y no terminaría hasta agosto.
- El número total de fallecidos en España estaría alrededor de 350.000 personas.
- En la peor jornada morirían 9.400 personas en un mismo día.
En el siguiente gráfico tenéis el número de fallecidos por día por cada 100.000 habitantes para el Reino Unido y EEUU:
2.- ¿Cómo sería la epidemia tomando diferentes medidas de mitigación?
Los autores pasan luego a considerar una serie de intervenciones sociales posibles para la mitigación, manteniendo estas medidas durante 3 meses:
- a.- Curva color negro (como referencia): Sin tomar ninguna medida.
- b.- Curva color verde: Cierre de escuelas y de universidades.
- c.- Curva color naranja: Aislamiento de los casos en casa. Las personas que tienen síntomas permanecen en casa durante 7 días.
- d.- Curva color amarillo: Cuarentenas familiares. En el caso de que exista alguna persona sintomática, todas las personas de su hogar permanecen en casa durante 14 días.
- e.- Curva color azul: Aislamiento de los casos en casa, cuarentenas familiares y distancia social para los mayores de 70 años.
- f.- Línea roja. (Abajo del todo): Capacidad de las unidades de cuidados intensivos.
Como podéis ver, cualquiera de las medidas de mitigación supera, con mucho, la capacidad del sistema sanitario (la línea roja).
La única estrategia viable es la supresión.
La única estrategia viable es la supresión.
3.- ¿Cómo sería la epidemia tomando estrategias de supresión?
Para estudiar la supresión, los epidemiólogos del Imperial College consideran dos tipos de medidas mantenidas durante 5 meses:
- a.- Curva color negro (como referencia): Sin tomar ninguna medida.
- b.- Curva de color naranja: Aislamiento de los casos con síntomas, cuarentenas caseras y "distancia social" entre toda la población.
- c.- Curva de color verde: Cierre de escuelas y de universidades, aislamiento de los casos con síntomas y "distancia social" entre toda la población.
- d.- Línea roja: Capacidad de las unidades de cuidados intensivos.
Ahora sí, con la medidas más contundentes (línea verde), se consigue no colapsar el Sistema Sanitario.
Pero existe un problema adicional: cuando estas medidas se relajan (en el gráfico, a partir de septiembre), la epidemia vuelve a coger velocidad, ya que la mayoría de la población no ha adquirido la "inmunidad de grupo".
Los investigadores concluyen que para evitar un "rebote" de la epidemia, las medidas tendrían que ser mantenidas durante el tiempo necesario para desarrollar una vacuna, producirla y administrarla a gran parte de la población, que estiman en al menos 18 meses.
En este enlace podéis encontrar el trabajo completo del Imperial College.
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