En esta gran escultura aparecen ambos. El dodecaedro es la base de la que parten esos rayos que se proyectan desde sus caras, Pero si os fijáis bien, envolviendo el conjunto en una gran lona tendríamos un gran icosaedro (con las puntas recortadas, al estarlo los rayos).
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| Escultura de Eusebio Sempere en la Torre Cega de los March, Cala Ratjada, Mallorca. |
Partiendo de un dodecaedro apoyado sobre una arista, con un eje binario de punta, pueden obtenerse vistas desde todos los ejes de simetría, binarios, ternarios y quinarios, además de la secuencia de giros uniformes de 15º:
Ahora lo colocamos de punta sobre un eje ternario para ver la secuencia de giros:
Y sobre una cara, con un eje quinario de punta. Una de las series es de giros uniformes de 15º; la otra se detiene en las vistas con simetría bilateral.
Aquí, vistas encadenadas. Cada dos de ellas consecutivas se obtienen una de la otra rodando el icosaedro ángulos de 90º. Las dos tiras de pentágonos del ángulo inferior izquierdo corresponden al desarrollo de dos medios dodecaedros. (La forma de obtener un dodecaedro con dos tiras de papel la vimos en esta otra entrada del blog, con la construcción que allí se muestra a partir del "nudo de la corbata").
Pasando al icosaedro, las vistas obtenidas apoyándolo sobre una arista, con un eje binario de punta. De nuevo presento la secuencia de giro uniforme y la que se detiene en las vistas que siguen los ejes de simetría:
Ahora apoyamos el icosaedro sobre una cara, con un eje ternario de punta:
Y sobre un vértice. Ahora está de punta un eje quinario. Giros de 15º.
Y aunque esta parezca la misma figura no lo es, porque nos hemos detenido en las posiciones con simetría bilateral:
Los tumbos sucesivos en ángulo recto. Abajo, el desarrollo.
Los poliedros regulares se pueden asociar entre sí según sus ejes de simetría. Una ley de dualidad relaciona el tetraedro (3,3,3) ("3 caras, que son polígonos de 3 lados, por vértice") consigo mismo, el cubo (4,4,4) ("3 caras de 4 lados por vértice") con el octaedro (3,3,3,3) ("4 caras de 3 lados por vértice"), y el dodecaedro (5,5,5) ("3 caras de 5 lados por vértice") con el icosaedro (3,3,3,3,3) ("5 caras de 3 lados por vértice"). Para cada pareja se pueden hacer coincidir los ejes de simetría.
Veamos el caso del cubo y el octaedro. Si además de hacer coincidir los ejes acoplamos su tamaño para que las aristas de ambos se corten, podemos obtener un poliedro no convexo, macla de ambos. Envolviéndolo con planos que contengan a las aristas que se cortan se tiene otro poliedro de caras rómbicas, el rombododecaedro: las dichas aristas son las diagonales de esas caras.
Si antes hemos maclado los dos poliedros duales, obteniendo su unión, haremos ahora su intersección.
En primer lugar, la que resulta de eliminar los "picos" del caso anterior. El poliedro resultante no es regular, sino semirregular, porque tiene dos clases diferentes de caras regulares, triángulos y cuadrados. Es el cuboctaedro, y su fórmula, siguiendo la notación anterior (lados de los polígonos sucesivos de un vértice) es (3,4,3,4).
Variando el tamaño de los poliedros de partida se obtienen otros dos semirregulares, el octaedro truncado (4,6,6) y el cubo truncado (3,8,8).
Y aún puede obtenerse otro poliedro semirregular, el rombicuboctaedro (3,4,4,4), si se truncan los vértices del cuboctaedro con un rombododecaedro de tamaño adecuado.
Con total analogía puede procederse para las otras parejas de poliedros duales. Los poliedros semirregulares obtenidos son conocidos como sólidos de Arquímedes, mientras a los regulares se los suele llamar sólidos de Platón.
Pero para materializar mejor el mecanismo de las vistas diédricas convendrá darse antes un paseo por aquí.
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