La expresión gráfica en la ingeniería (6-c)

La curvatura de una línea plana la mide en cada punto una circunferencia llamada osculatriz, la que mejor se le ajusta en él. Su radio se llama radio de curvatura. Esa circunferencia se llama así porque "besa" a la curva. El círculo que encierra, círculo osculador, es, para expresarlo gráficamente, un disco que se acopla a la curva sin rodar sobre ella (seguramente a quien así lo tituló le resultaba un poco violento llamarlo "círculo copulador").

Las superficies de revolución reproducen la curva en cada plano meridiano. Son una buena base para analizar la curvatura: colocad una bola en una copa, y si no llega a tocar el fondo es que su curvatura es mayor, pero si puede rodar es menor. Únicamente coinciden las curvaturas si se encaja perfectamente.

La curvatura es la magnitud inversa del radio de curvatura, es decir, que a mayor radio menor curvatura. Si el radio crece infinitamente, la circunferencia tiende a ser una recta, de curvatura nula. Si el radio disminuye, tendiendo a cero, la curvatura crece infinitamente, y el punto se vuelve anguloso.

La tangente en un punto de una curva es la del círculo osculador en él. Para una recta es ella misma, y para un punto anguloso no hay una tangente única. La tangente no toca a la curva en más de un punto, al menos en un entorno más o menos amplio.

También en las superficies hay un plano tangente en cada punto, salvo en aquellos puntos singulares en que se pierde la suavidad, como el vértice de un cono o la quilla de una embarcación. El plano tangente contiene a todas las tangentes, rectas que tocan la superficie en el punto y solo en él, de nuevo al menos en un cierto entorno. Salvo que el plano tangente corte a la superficie o comparta con ella toda una línea. En estos casos hay una o dos tangentes excepcionales, pero el resto siguen la ley general.

Continúa esta entrega lo estudiado hasta aquí, dentro del libro que vengo glosando desde este otro lugar.

Entremos a analizar estos conceptos, basándonos en las superficies de revolución.

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El meridiano de una superficie de revolución puede descomponerse de modo más o menos aproximado en arcos de circunferencia, los cuales generan tiras toroidales.

Observamos que hay puntos en que la curvatura del meridiano deja al centro del círculo osculador dentro de la vasija, y otros en que queda fuera de la misma, mientras que los paralelos siempre tienen su centro en el interior. Cuando los dos centros de curvatura quedan dentro están del mismo lado del plano tangente, y las curvaturas tienen el mismo signo. Si uno de ellos queda dentro y el otro fuera, las curvaturas respectivas son de signo opuesto.

El toro es la superficie idónea para estudiar el plano tangente, porque en él existen tres modos de relación entre la superficie y el plano. En unos puntos (elípticos) hay un solo punto común entre ambas. En otros (parabólicos) coinciden en una línea, que en este caso es una circunferencia de tangencia (hay dos, en los extremos superior e inferior de la rosquilla). Por último, en los puntos hiperbólicos el plano corta al toro en una curva llamada lemniscata.

El plano tangente es único (y también la normal, recta perpendicular a él), pero contiene infinitas tangentes en el punto. Dos de ellas son importantes, las tangentes al paralelo y al meridiano, perpendiculares entre sí y, naturalmente, a la normal. Las tres forman por lo tanto un triedro trirrectángulo, determinando tres planos, que son el plano tangente mismo, el plano meridiano y un tercero determinado por la normal y la tangente al paralelo.

La normal y la tangente al meridiano, al girar, generan dos conos con vértices sobre el eje. Uno, tangente a la superficie. El otro, perpendicular a ella. En los puntos parabólicos el cono se convierte en un plano. Para los paralelos ecuatoriales, máximo y mínimo o de garganta, el cono pasa a ser un cilindro.

También hay dos superficies esféricas tangentes al toro en el paralelo. Una de ellas lo envuelve (en los puntos elípticos) o se encaja en su agujero (en los hiperbólicos), mientras la otra lo corta perpendicularmente.

En los puntos parabólicos la esfera tangente pasa a ser un plano.

En cada paralelo de una superficie de revolución hay un toro osculador.

Las diferentes tangentes en un punto determinan con la normal planos normales, y cada uno de ellos corta a la superficie en una curva, que en el punto tiene su propia curvatura, la de su círculo osculador.

Al girar la tangente en su plano alrededor de la normal, estos planos giran también, y las curvas que determinan en la superficie van variando su curvatura. En los puntos elípticos, las curvaturas extremas, que coinciden en los planos meridiano y tangente al paralelo, no se anulan nunca, pero en los parabólicos lo hacen para la tangente al paralelo, y en los hiperbólicos en dos direcciones.

Veremos esto con más detalle.

(continúa)