El fundamento es colocar frontalmente planos oblicuos para llegar a conocer su verdadera forma y dimensiones. Esto se puede aplicar tanto para obtener secciones planas, poniendo primero de canto el plano de corte, como para poner de frente caras planas de distintos cuerpos.
Como ejemplo, y para materializar en lo posible el mecanismo, vamos a construir un poliedro, conocido por la posición en el espacio de los vértices que definen sus caras y aristas. Se parte de dos vistas, convencionalmente llamadas "planta" y "alzado", que se considera que son proyecciones ortogonales del objeto sobre dos planos, "horizontal" y "vertical". Nosotros vamos en cambio a considerar estas vistas como proyecciones sobre un único plano horizontal, obtenidas antes y después de girar el cuerpo un ángulo de 90º alrededor de un eje también horizontal.
Estas vistas las asociamos a dos vectores 1 y 2, perpendiculares entre sí, de modo que en la posición 1 es vertical el vector 1 y horizontal el 2, invirtiéndose las posiciones en la vista 2.
Cada punto viene dado por la intersección de tres planos ortogonales entre sí. Para cada una de las dos posiciones consecutivas hay un juego de planos horizontales y dos de planos verticales, unos paralelos al eje de giro, otros perpendiculares a él. Los planos horizontales de cada vista se convierten en verticales al hacer el giro y pasar a la otra, y el otro juego de planos verticales se mantiene en la misma posición, "de canto".
Construiremos el sólido a partir de las vistas. Para eso hemos de conocer la verdadera forma y magnitud de aquellas caras que no aparecen de frente en ninguna de las vistas dadas.
Para facilitar la comprensión he montado un artilugio que materializa los planos "horizontales" o "frontales" que pasan por cada punto haciendo pasar por él un eje "vertical" o "de punta", de forma que podamos acomodar las distancias entre planos a las cotas de cada punto. Sobre cada plano dos ejes ortogonales sirven para imaginar los planos "verticales" o "de canto".
Al pasar de una vista a la siguiente el eje pasa de la posición horizontal a la vertical, o viceversa, y los planos también invierten su posición. Si estaban de canto pasan a estar de frente.
Nótese que con este sistema no necesitamos conocer las cotas o niveles de los puntos, sino solo las diferencias de cotas entre ellos.
Este es el procedimiento para colocar de frente la cara DGH. Partimos de las vistas 1 y 2 para obtener la vista 3, en la que las caras cuadradas, de frente en 1, pasan a estar de canto, como estaban en 2, y conservan las distancias entre ellas. Ahora GH pasa a estar de punta, y por lo tanto DGH de canto.
Al pasar de la vista 3 a la 4 colocamos dicha cara de frente, y por ello en verdadera magnitud.
Las distancias entre los planos por A, H, G, C se mantienen entre las vistas 1 y 4, mientras en 3 esos planos están de frente.
Materialicemos lo hecho en el dibujo con nuestro artefacto. El eje mantiene la dirección 1-3 y los planos se acomodan a las distancias entre los puntos señalados:
El eje que estaba horizontal lo levantamos verticalmente sobre la vista 3. Los ejes marcados sobre los planos se direccionan según el vector 3-1:
Reorientamos los ejes en la dirección 3-4:
Y rodamos el chisme en esa dirección. Los planos nos dan la posición de los puntos que nos interesaban. Ahora la cara DGH está de frente.
A partir de aquí podemos construir el desarrollo del poliedro, definidas como están todas sus caras, y construir el sólido. Mientras las caras cuadradas son únicas, las triangulares son ocho en total.
Podemos definir un poliedro arbitrariamente mediante dos vistas y, por irregular que sea, materializarlo en el espacio, aún sin conocer inicialmente su forma. Basta con la posibilidad de que exista, que solo depende de la correcta definición de los vértices en las vistas iniciales y de la descripción completa y correcta de sus caras y aristas a partir de ellos.
Espero que el instrumento presentado sea un material didáctico útil para el aprendizaje de este sistema de vistas diédricas encadenadas, porque a mi entender la mejor forma de asimilar las proyecciones de un objeto es imaginarlo en el espacio inmediato a ellas y moverlo mentalmente para pasar de unas a otras.
Un descubrimiento interesante sobre lo que hemos hecho es que mediante dos giros en ángulo recto se puede lograr cualquier giro en el espacio. En términos matemáticos diremos que cualquier giro es producto de otros dos giros de 90º; el eje del primero es perpendicular al plano que definen los ejes de los otros dos, y el ángulo de giro es el formado por ellos.
Ahora será más fácil continuar con la serie.
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