Presentaré primero a los sujetos de esta entrega.
Estos son los poliedros regulares, el tetraedro está solo porque es autodual y está obligado a emparejarse consigo mismo (pobre... como también su escueta descendencia directa; pero aunque tenga pocos hijos dejará abundantes nietos). Lo siguen las parejas duales formadas por cubo y octaedro y dodecaedro e icosaedro.
La macla de dos poliedros duales cuyas aristas respectivas se corten en su mitad produce un poliedro estrellado.
Si "envolvemos" este poliedro con otro de caras rómbicas que tengan sus vértices coincidentes con todas las "puntas" de ambos, este nuevo poliedro será un romboedro. En la figura anterior sería el rombododecaedro.
Cada sistema tiene su propio romboedro. El que corresponde al tetraedro es un rombohexaedro regular, que resulta ser el cubo. Por eso dije que el tetraedro dejaba nietos, los hijos del cubo. Y bisnietos, porque del cubo hicimos aquí descender al dodecaedro.
Los que siguen son los romboedros de los tres sistemas espaciales de simetría. El superior en la figura, rombotriacontraedro, está constituido por treinta caras cuyos vértices coinciden con los de un dodecaedro y un icosaedro duales; el intermedio es el ya citado rombododecaedro, y el inferior el cubo.
Al poliedro estrellado representado más arriba, macla de cubo y octaedro, hay que añadir la macla de dodecaedro e icosaedro y la de dos tetraedros duales con aristas intersecantes. Si a todos ellos les eliminamos las pirámides que forman las "puntas", tenemos otros poliedros. En el pobre sistema del tetraedro se escapa un "tetratetraedro" al sistema del cubo, porque resulta ser un octaedro.
De dodecaedro e icosaedro se obtiene el icosidodecaedro.
De cubo y octaedro, el cuboctaedro.
Y de dos tetraedros duales este octaedro.
Siguen las vistas de estos poliedros poliedros, representados en sus vistas principales y encapsulados en la esfera circunscrita que toca sus vértices. En cada sistema están en la misma posición en las vistas correspondientes.
Comenzamos con el sistema del tetraedro.
Este es el tetraedro básico:
Y esta es la posición dual:
La macla de los dos tetraedros:
El octaedro resultante de eliminar los "picos":
Y el cubo envolvente:
Repetimos imagen, porque este mismo poliedro inicia el sistema del cubo:
El octaedro, dual del anterior:
La macla de ambos:
La intersección (cuboctaedro):
La envolvente (rombododecaedro):
Para terminar, los poliedros del sistema del dodecaedro, comenzando por éste:
El icosaedro, dual del anterior:
La macla:
La intersección, para mi gusto uno de los poliedros más bellos, el icosidodecaedro:
Y terminamos con otro no menos vistoso, el rombotriacontaedro:
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