martes, 20 de junio de 2017

La expresión gráfica en la ingeniería (5-a)

La obtención de un poliedro es como la talla de una gema. Sobre la piedra informe creamos una superficie plana, luego otra. Harán falta cuatro para obtener de ella el sólido más simple, un tetraedro. En la joya eso supondría un gran desperdicio, pérdida de peso y de valor, y las caras iniciales raramente se encontrarán en una arista. El proceso, a través de muchos recortes, acabará por crear un poliedro de muchas caras. La habilidad del tallista, la transparencia y la refracción harán de él un objeto bello y valioso.


Continuando la edición de este libro, luego de acabar su cuarto capítulo, vamos a por el quinto, que puede descargarse en PDF. (En tal documento se podrán apreciar finísimas líneas auxiliares, perdidas en estas imágenes).

Siguiendo el ejemplo de la gema, tallaremos el espacio como si fuera una piedra en bruto.


Del espacio en bruto empezamos tallando un poliedro de cuatro caras, Si limamos un vértice, aumentará en tres el número de aristas, en dos el de vértices y en uno el de caras. En el tetraedro se cumplía la fórmula C+V=A+2, (4+4=6+2). Ahora tendremos (4+1)+(4+2)=(6+3)+2, (5+6=9+2), que sigue cumpliendo la Formula de Euler, siendo el "2" final la llamada característica de Euler-Poincaré.


Si ahora limamos una arista creando una cara nueva, el número de vértices aumentará en dos, el de aristas en tres, y el caras, naturalmente, en una. Comprobamos que (5+1)+(6+2)=(9+3)+2, 6+8=12+2. Y si tontamente rebanamos toda una cara no variará el número de caras y aristas ni el de vértices (solo que el zafiro perderá valor).

Cualquier gema poliédrica puede ser obtenida reiterando este procedimiento, y siempre  se mantendrá ese valor característico 2. Característico, precisamente de los poliedros convexos ("sin agujeros").


Si en lugar de eliminar material lo aumentamos, añadiendo caras nuevas a partir de una dada, podemos obtener poliedros no convexos, también "sin agujeros", que conservan la característica 2


Estas yuxtaposiciones de poliedros conservan la característica de cada uno de los que las forman. Al unirlos desaparece una cara en cada uno, y tantas aristas como vértices. La fórmula permanece intacta: (C-2)+(V-n)=(A-n), o lo que es lo mismo        C+V -n = A-n +2.

En las figuras que siguen hay caras en prolongación. En este caso, al yuxtaponerlas desaparecen una cara y una arista más, pero con eso no cambia la fórmula.


Variaciones sobre el mismo tema:


Ahora el poliedro se busca a sí mismo. La fórmula no cambia.


Pero al cerrarse sobre sí mismo y dejar un agujero cambia la característica euleriana, como puede comprobarse. En este caso pasa a ser 1, en otros 0. Y dejamos de lado el caso de más de un agujero.


Centrémonos en los poliedros sin agujeros, convexos o no. Si se prolongan las caras no contiguas de uno convexo, "añadiendo material", se obtiene los estrellados.


¿Podemos cambiar caras por vértices, conservando las aristas?  Si en cada cara elegimos un punto como vértice de otro poliedro, las caras contiguas que se cortan en una arista darán paso en el nuevo a vértices contiguos unidos por una arista. Los vértices en que concurren varias caras y otras tantas aristas del primero se corresponderán en el nuevo con otras tantas caras limitadas por un número igual de vértices y aristas. De este modo, el número de caras y vértices se invierte, permaneciendo igual el de aristas. Esta propiedad se llama dualidad entre ambos poliedros. No depende de los puntos elegidos para cada cara, que ni siquiera necesitan situarse sobre ella. Solo del número y de la correspondencia mutua.


Estas propiedades topológicas (de relación entre elementos) para nada dependen de la medida. Figuras aparentemente muy distintas tienen la misma topología.

En cualquier poliedro podemos "estirar" una cara hasta que todos los demás elementos del mismo puedan proyectarse dentro de ella, y luego sustituirla por el resto de su propio plano. Esto, en los poliedros sin agujero, equivale a abrirle uno a esa cara y abrirla, estirando, estirando, dándole la vuelta, hasta el infinito.


Las propiedades topológicas  no dependen de la dimensión ni de la forma, y por eso las figuras pueden distorsionarse a nuestra conveniencia. Cojamos un poliedro, convexo o estrellado, "inflémoslo" hasta que coincida con una esfera. Elijamos una cara, practiquemos un agujero en ella y abramos por él la esfera, agrandando el agujero hasta que ese punto convertido en circunferencia llegue al infinito. Todos los demás puntos de la superficie así distorsionada conservarán la continuidad, por estirados que queden entre sí.

Entonces habremos convertido la superficie poliédrica en un plano, y las aristas y vértices formarán un grafo plano.

Ahora podemos estudiar cómodamente la dualidad entre poliedros, transformada en una dualidad entre grafos.

Emplearé un símil topográfico.

Imaginad un conjunto de países ("caras") con fronteras entre sí ("aristas"). Varias fronteras pueden coincidir en un punto ("vértice"). Las capitales de los países que comparten frontera están unidas por autopistas.

Las autopistas están protegidas de la invasión de la fauna, como es habitual. Un animal no puede atravesarlas. En cambio puede cruzar las fronteras, que podemos suponer constutuidas por una tierra de nadie de setos y maleza. los humanos, en cambio, podrán cruzar únicamente por los puntos de control fronterizo de las vías.

Habrá entonces "países humanos" con fronteras que serán vías para los animales, y "paises animales", en que las vías serán los setos fronterizos que los unen y las fronteras las autopistas que los separan. Establecerán los animales su centro en los frondosos vértices.

Lo que para unos son fronteras, para otros son vías. Estas aristas (vías y fronteras) existen en igual número para esta estructura dual, mientras a cada vértice de un red le corresponde una cara de la otra, y viceversa.


Ahora aprovecharemos lo que aprendido en la parte final de esta entrega (4.25 y 4.26) para conocer la verdadera forma y magnitud de una cara cualquiera de un poliedro. En la vista 2 hay un plano de canto, que está de frente en 1, y que corta a la cara que queremos medir en una recta, también de frente en 1. Esa recta de frente queda de punta en 3, y con eso queda de canto el plano que la contiene. Finalmente, la cara que hemos puesto de canto en 3 queda de frente en 4, y con ello en verdadera magnitud.


También con este método podemos obtener secciones planas de un poliedro. Bastará poner de canto el plano que la produce para luego ponerlo de frente. El plano está dado por tres puntos, y bastará poner de frente, como ya sabemos, el triángulo que forman.

Para eso lo cortamos por otro plano, de frente en 2 y de canto en 1. La recta de intersección está de frente en 1 y de punta en 3, en donde está de canto el plano cortante, que finalmente quedará de frente en 4.



Con estas armas, estamos en condiciones de continuar el estudio de los poliedros.

(continuará el capítulo V)

No hay comentarios:

Publicar un comentario