La expresión gráfica en la ingeniería (5-b)

Estos son los poliedros regulares, "sólidos platónicos" como se los suele llamar. Solo existen estos cinco. Sus caras son todas iguales, sus vértices y aristas también. Si no atendemos a las medidas sino únicamente a las relaciones entre vértices (punto de vista topológico), los define el número de estas caras iguales en cada vértice, que fácilmente se comprueba que nunca pueden ser menos de tres ni más de cinco, y eso nada más que si son triángulos. Aparte de estos sólo pueden ser cuadrados y pentágonos.

La definición topológica es fácil con la notación de Schläfli, que refiere el número veces n que se repite el polígono de a lados en un vértice: {a,n} o bien (a)n veces. Los políedros posibles son entonces {3,3}=(3,3,3) (tetraedro), {3,4}=(3,3,3,3) (octaedro), {3,5}=(3,3,3,3,3) (icosaedro), {4,3}=(4,4,4) (hexaedro), {5,3}=(5,5,5) (dodecaedro).

La topología no entiende de medidas o formas, solo de continuidad. Los ángulos no importan; las medidas, tampoco. Ni siquiera las aristas han de ser rectas ni las caras planas. Para llegar a los poliedros regulares que conocemos hemos de ir definiendo otras cosas.

Caras planas y por lo tanto aristas rectas. Si además exigimos aristas iguales y ángulos iguales, las caras serán polígonos regulares. Con esto ya será regular todo el poliedro.

Que pueden ser inscritos en la esfera que pasa por sus vértices, circunscritos a otra, tangente en el centro de las caras. Y todavía habrá otra esfera tangente a las aristas por su centro, como si estuviera encajada en un poliedro de alambre.

Una vez más recordaré que la serie entera de estas entregas comenzó aquí y que la última fue esta.

El cubo, como unidad del espacio, servirá de módulo para estudiarlos. Pueden ser inscritos en él, y de sus relaciones se pueden obtener todas sus medidas.

División de un cubo en seis tetraedros (no regulares) de igual volumen:

Otra forma de dividir el cubo en seis piezas iguales. Si a su vez dividimos el cubo en ocho cubos menores, tendremos cuarenta y ocho piezas. Todas ellas comparten un vértice O (centro del cubo), y sus otros vértices son C (centro de una cara), A (centro de una arista), V (vértice).

Estas 48 piezas (6x8) son los módulos elementales del cubo, obtenidos cortándolo por sus planos de simetría. Estos módulos carecen de simetría ellos mismos, y por eso existen en dos variedades ("enantiomorfos"), siendo unos "de la mano derecha" y los otros "de la mano izquierda". No podemos descomponerlos en piezas iguales más simples.

Los demás poliedros también pueden dividirse en módulos tetraédricos de vértices O, C, A, V, que son sus módulos elementales. Las caras de los módulos son siempre triángulos rectángulos, y eso facilita medirlas aplicando el teorema de Pitágoras. En el tetraedro hay veinticuatro módulos (4x6):

En el cubo ya hemos visto que son 6x8 = 48.

En el octaedro son 8x6 = 48, como en el cubo.

En el dodecaedro son 12x10 = 120 módulos:

Finalmente, en el icosaedro son 20x6 = 120, como en el anterior:

Por lo tanto, el número de módulos se obtiene multiplicando el número de caras del poliedro por el doble del número de aristas de cada cara. Lo que hemos hecho es dividir la superficie en triángulos rectángulos iguales y tomarlos como bases de pirámides cuyos vértices coinciden en el centro del poliedro. La mitad de las pirámides, carentes ellas mismas de simetrías internas, es simétrica de la otra mitad.

Mediante cambios del punto de vista, podemos colocarnos de frente a cualquier plano, y verlo en su verdadera magnitud. Lo hemos hecho ya con las aristas del cubo. Si un plano está de canto, podemos situarnos para verlo de frente.

Así hemos puesto de frente las caras del cubo, y podemos hacerlo también con sus planos de simetría. Colocado en la posición 3, con una cara de frente y un eje cuaternario de punta, estarán de canto los planos diagonales, que contienen ejes de simetría de todas las clases (cuaternarios CC, ternarios VV y binarios AA). Las secciones por estos planos contienen todas las medidas de los elementos que nos interesan (aristas, diagonales de caras y diagonales del cubo). Esta sección principal coloca de punta en la vista 4 un eje de simetría binaria, mientras en la vista 5 hemos puesto de punta un eje ternario.

Las secciones principales contienen en verdadera magnitud todos los elementos importantes de los módulos elementales: las distancias del centro del poliedro al de una cara y a un vértice, del centro de una cara al de una arista y de centro de arista a vértice.

Conocido todo esto es fácil utilizar las vistas más sencillas del cubo para dibujar todos los poliedros regulares. A partir de estas vistas se pueden hacer todos los cambios de punto de vista, que desarrollaré en otra entrega.

En el caso del dodecaedro y del icosaedro se ha recurrido a la razón áurea que relaciona el lado y la diagonal del pentágono regular.

¡Hasta la próxima!

(continúa el capítulo)