Análisis sistemático de la generación de espacios

La ciencia ficción nos tiene acostumbrados a espacios de múltiples dimensiones, pero desde nuestra tetradimensionalidad, aún considerando el movimiento como la forma que adopta la cuarta dimensión, no podemos tener imágenes mentales de lo que eso significa. 

A duras penas imaginamos en qué puede consistir una singularidad en nuestro espacio, aunque hayamos oído hablar de los agujeros negros. Habitamos un espacio, o una porción de él, casi totalmente cartesiano.

Por mi profesión de ordenador de espacios, y luego por un trabajo universitario ya oficialmente concluído, me interesé por los espacios físicos y los espacios matemáticos. Para estos últimos no hay limitación dimensional. La geometría computacional emplea muchas dimensiones, algunas geométricas, otra temporal y luego varias más, para manejar atributos de las imágenes. Los espacios vectoriales que maneja el computador, y no sólo para el procesamiento de imágenes animadas, pueden tener múltiples dimensiones.

A este divertimento mío (que seguramente no consideraréis así) le faltan imágenes. En algún momento añadiré algunas. Quien tenga paciencia y un lápiz tal vez pueda intentar comenzar por dibujar un punto, dos, tres, cuatro... e irlos uniendo, imaginando los espacios mínimos que pueden definir, y en qué condiciones. Y cómo esos espacios modulares pueden generar unidades espaciales y llenar todo el espacio, nuestro limitado-ilimitado espacio.

El tema puede ser árido de entrada. Os aseguro que es todo un mundo que explorar.

Para quitar dureza al tema, vaya una imagen sedante. Imaginaos navegando (casi mejor nadando) por ahí...

Análisis sistemático de la generación de espacios
 Un resumen

Espacios

En un espacio vectorial, un punto (o un vector) es definido por un conjunto de valores variables independientes entre sí, tomados en el seno del cuerpo de los números reales. El mayor número posible de vectores linealmente independientes en ese espacio nos da su dimensión.

De este modo, el punto es adimensional, porque en su espacio no se pueden considerar valores dados por números reales que definan diferentes posiciones, una línea continua es un espacio unidimensional, porque la posición de un punto viene dada por un único número real, una superficie continua es bidimensional, y el espacio en que nos sentimos inmersos es tridimensional. Estos son los espacios sensibles asimilables a espacios vectoriales.

La existencia de una línea es una necesidad siempre que conozcamos dos puntos distintos, lo que presupone la posibilidad de desplazarse de uno a otro siguiendo una trayectoria lineal. Y dentro de ese espacio no se consideran puntos exteriores a él.

Si además existe un tercer punto ajeno a esa línea es que a partir de ellos pueden definirse nuevas líneas y nuevos puntos sobre una superficie, espacio bidimensional.

Un espacio de tres dimensiones exige la existencia de un cuarto punto fuera de la superficie. Y ello es siempre posible para el espacio sensible de nuestra experiencia. Matemáticamente, uno de ellos puede tomarse como origen de un sistema de coordenadas, y los otros tres como extremos de tres vectores unitarios sobre ejes coordenados linealmente independientes. En este espacio de tres variables, un quinto punto siempre puede definirse mediante un vector que ya no es independiente de los otros tres, porque viene dado por una combinación lineal de ellos. Con este espacio euclídeo de tres dimensiones hemos agotado la imagen de nuestro espacio sensible tridimensional.

Y si definimos que los tres vectores unitarios son ortogonales e iguales (decisión en el fondo arbitraria) tendremos el espacio cartesiano habitual.

No es posible una imagen gráfica de un espacio de cuatro dimensiones, pero si introducimos la variable tiempo y datamos el espacio tridimensional de cada instante, un momento distinto fijaría puntos también distintos, y a cuatro puntos distintos de hoy podríamos añadir como fuera del espacio actual un quinto punto de mañana. Nada impide entonces considerar que una figura en movimiento o de forma variable sea considerada como un cuerpo en ese espacio tetradimensional.

Los espacios matemáticos de la computación, además de la animación que introduce la dimensión tiempo, pueden considerar otros muchos atributos cuantificables como variables independientes, y por lo tanto como dimensiones, tales como el color (tres variables más) la masa, carga eléctrica, densidad, tensor de tensiones o deformaciones, con más variables aún…

Todos estos atributos asignables a un elemento puntual pueden manejarse dentro de vectores en espacios de mayor dimensión.

Considerando el punto como elemento básico, y la dimensión como el número de variables que lo definen, podemos imaginar un espacio de dimensión l que contiene otros de dimensión m, los que a su vez contienen otros de dimensión n, siendo entonces l > m > n.

Subespacios contenedores

Subespacios, contenedores al menos de puntos, de dimensión en puntos n y que pertenecen a otro de dimensión en puntos m. La dimensión del espacio medida en subespacios (número de variables que definen al subespacio en el espacio mayor) viene dada por la fórmula:

Es indiferente considerar qué elementos de menor dimensión pertenecen al subespacio.

Un punto es un subespacio en espacios de mayor dimensión, como la recta, el plano, el espacio tridimensional o el hiperespacio de cuatro dimensiones. La recta y el plano lo son en los de dimensión mayor, y el espacio en el hiperespacio. En todos estos casos puede definirse la dimensión de cada uno como el número de variables independientes que lo fijan en el espacio al que pertenecen. Por ejemplo, una recta queda definida en el plano por los valores de dos variables, pero en el espacio por cuatro. Por lo tanto, el espacio de rectas es tetradimensional.

Gráficamente, podemos expresar esto en una matriz, en la que las columnas representen los espacios contenedores y las filas los contenidos en ellas, y en cada casilla la dimensión correspondiente:

Extendamos la tabla para un número mayor de dimensiones:

Estas son las dimensiones de los subespacios dentro del espacio de referencia que los contiene. Puede observarse una cierta simetría, correspondiente a la dualidad que se establece entre ellos. Así, en el plano la recta es un elemento dual del punto, y las propiedades de pertenencia que entre ellos puedan establecerse se cumplen sin más que cambiar “punto por recta”, “recta por punto”, “estar en” (contenido en) por “pasar por” (lo contiene), y viceversa. (Ley de dualidad o de correlación en el plano)

En el espacio, la ley de dualidad establece como duales el punto con el plano y la recta con otra recta, para las propiedades de inclusión que puedan establecerse entre estos elementos. Basta aplicar la misma correspondencia del caso anterior, sustituyendo “punto” por “plano”, “recta” por “recta” y “plano” por “punto”, sin olvidarse de cambiar entre sí “contenido en” y “contiene a”.

Y en el hiperespacio tetradimensional son duales entre sí el punto con el espacio y la recta con el plano. Puede establecerse así una perfecta dualidad, en las espumas poliédricas que compartimentan el espacio, una exacta correlación entre una burbuja (espacio) y sus vecinas, a través de la superficie común (plano), en correspondencia con un punto de la misma y puntos de las vecinas, unidos por rectas que atraviesan la superficie común. Así, a un conjunto de poliedros contiguos corresponde una malla de líneas que unen sus puntos representativos, con una línea atravesando cada superficie.

Hasta aquí hemos visto subespacios (formas) que contienen elementos de menor dimensión, contenidos en otros de mayor dimensión. Por ejemplo, una recta de puntos en el espacio (serie de puntos).

Veamos ahora a formas duales de ellas, esto es subespacios contenidos en otros de mayor dimensión, contenidos en otros de mayor dimensión aún. Por ejemplo, una recta de planos en el espacio, esto es, el conjunto de planos del espacio que contienen una misma recta (haz de planos).

Subespacios contenidos

En este caso, el espacio mayor, de dimensión l en cuanto a puntos, contiene a todos los de dimensión m que comparten uno de dimensión n.

La dimensión del espacio contenido (número de variables que definen cada espacio contenedor) depende en este caso del espacio de referencia que los contiene a todos ellos:

Consideraremos los siguientes casos, hasta el hiperespacio tetradimensional:

En el plano (l = 2):

Se trata del haz de rectas, y un solo parámetro define cada recta del haz (elemento común, un punto).

En el espacio tridimensional (l = 3):

(_*) Radiación de rectas: dos parámetros definen la recta dentro de la radiación (elemento común, un punto).

(_**) Radiación de planos: dos parámetros definen cada plano dentro de la radiación (elemento común, un punto).

(_***) Haz de planos: un solo parámetro define cada plano dentro del haz (elemento común, una recta).

En el hiperespacio tetradimensional (l = 4):

(*) Hiperradiación de rectas: tres parámetros definen la recta dentro de la hiperradiación (elemento común, un punto).

(_**) Hiperradiación de planos: cuatro parámetros definen cada plano dentro de la hiperradiación (elemento común, un punto).

(_***) Hiperradiación de espacios: tres parámetros definen cada espacio dentro de la hiperradiación (elemento común, un punto).

(_****) Radiación de planos: dos parámetros definen el plano dentro de la radiación (elemento común, una recta).

(_*****) Radiación de espacios: dos parámetros definen cada espacio dentro de la radiación (elemento común, una recta).

(_******) Haz de espacios: un parámetro definen cada espacio dentro del haz (elemento común, un plano).

Conjetura no comprobada: este cuadro, extendido a espacios de mayor dimensión, parece coincidir con el de los subespacios contenedores, sin más que cambiar filas por columnas. Parece lógico, en cumplimiento de la ley de dualidad).

En todo lo anterior, hemos pasado, sin decirlo, de conceptos como “línea” y “superficie” a “recta” y “plano”. En las porciones de espacio continuo exentas de singularidades, siendo todos sus puntos ordinarios (espacios gaussianos), sus líneas y superficies, para unos seres inmersos en ellas, son indistinguibles de rectas y planos de otro espacio con correspondencia perfecta. Así, podemos pasar tranquilamente del espacio de Gauss al euclídeo y de este al cartesiano, como imágenes mentales diferentes de una misma entidad matemática.

Si yo soy curvilíneo u oblicuo en mi mundo curvilíneo u oblicuo, ¿cómo lo sabré?

Para mí será perfectamente cartesiano.

Para la imaginación…

Hiperradiaciones: habría espacios, o formas en ellos (rectas, planos…) que compartirían con el nuestro un único punto, ¡desde luego, muy singular!

Radiaciones: una recta de nuestro espacio podría pertenecer a otros, o a planos de otros.

Haces de espacios: un plano nuestro estaría compartido con otros espacios.

En las transformaciones proyectivas, y gracias a la animación por ordenador, pueden hacerse visibles tales espacios, así como sus evoluciones, manteniéndose los elementos fijos.

Pero entonces, si un punto, un recta o un plano de nuestro espacio podrían ser compartidos por otros espacios, dentro de un espacio de dimensión superior, ¿Por qué no imaginar que compartimos todo nuestro espacio, o una parte de él, con otros espacios, dentro de un hiperespacio de dimensión superior?

Alucinante es la palabra. Pero la animación nos tiene ya acostumbrados a estas cosas. Y la ciencia ficción. Y la religión…

¿Singularidades en el espacio? ¿entrelazamiento cuántico? ¿agujeros de gusano?...

Repasemos Planilandia, de Abbott.