Topología recreativa (II)

De los casos presentados en la primera parte de esta entrada, comenzaré por las figuras de un solo trazo.

Lo primero que hay que decidir es si es o no es vértice el centro en que se cortan las diagonales. De no tomarlo como tal estaremos considerándolo como el cruce de dos trazos, de los que uno, al ser posterior al otro, pasa por encima. No estaremos ante un paso a nivel, sino ante un paso elevado. Así visto no se trata de un grafo plano.

Si de otro modo decidimos que el grafo es plano el centro será un vértice más (paso a nivel) y habrá dos nuevos tramos. Habrá más movimientos posibles, eligiendo forzosamente entre los cuatro tramos dos de entrada y dos de salida.

El vértice superior podría en todo caso suprimirse como tal. Con eso los trayectos de entrada y salida que pasan por él se convierten en uno solo. Todo vértice con una sola entrada y una única salida puede eliminarse y reducir dos etapas a una sola, puesto que es indiferente la forma recta, quebrada o curva de los tramos.

Solamente en los vértices inicial y final puede concurrir un número impar de rutas, con una más de salida el primero y una más de entrada el terminal.

La figura que sigue muestra una solución, con un sentido único de recorrido para cada tramo:

El llamado sobre mágico de Lewis Carroll tiene con el anterior, además de ser mas complejo, algunas diferencias.

En primer lugar, en todos los vértices concurre un número par de tramos y la figura puede ser dibujada a partir de cualquier vértice, volviendo al punto inicial sin levantar el lápiz del papel, describiendo un ciclo. En ese ciclo poco importará qué vértice fue el punto de partida, que será necesariamente también el de llegada..

Como en el caso anterior, podríamos eliminar del cómputo los vértices con entrada y salida únicas, suprimiendo un número igual de tramos y vértices. El mismo efecto nulo sobre el resultado tendría subdividir los tramos.

Una solución, pero no la única, sería esta:

Hasta aquí se buscaba recorrer todas las etapas una sola vez, y por lo tanto en un único sentido. Veremos qué ocurre cuando se busca pasar una sola vez por cada vértice y regresar al punto inicial.Este sería el caso de un viaje alrededor del mundo que, pasando por diferentes ciudades sin volver a ninguna de ellas, regresara a la de inicio.

Equivale a descomponer en dos una superficie poliédrica cerrada, con un solo corte a través de algunas aristas pero incluyendo todos los vértices.

(sigue)