Topología recreativa (V)

Leonhard Euler demostró la imposibilidad de resolver el problema de los puentes de Koenisberg. La razón, ya expuesta, es que, siendo allí impar el número de puentes en cada región, atravesarla requiere entrar y salir utilizando dos puentes. Volver a entrar por el tercero impide salir sin repetir el paso por alguno de los tres. En el caso de la isla, con cinco puentes, se puede entrar y salir dos veces, pero no una tercera. Habiendo tres regiones limítrofes, nos quedaremos sin visitar alguna.

Pero al duplicar el paso por los puentes, atravesándolos en ambos sentidos, el problema se resuelve siempre, con cualquier número de puentes y regiones.

Cualquier red, por intrincada y laberíntica que sea, puede recorrerse por completo, cada tramo en ambos sentidos, sin más que recordar unas sencillas reglas. Para comenzar a orientarnos por la malla es importante señalar, al entrar por vez primera en un nudo, la vía por la que entramos y aquella por la que decidimos salir. De este modo reconoceremos, al volver a pasar por él, las que no hemos usado nunca, las que ya usamos para entrar, pero que podemos usar para salir, y aquellas por las que ya salimos y no podemos utilizar para salir de nuevo.

No basta con eso. Naturalmente, llegar a un fondo de saco no tiene más solución que retroceder. En los demás casos, si al llegar a una encrucijada encontramos todas las posibles salidas sin marcar, podemos utilizar cualquiera de ellas. Pero si hay marcas que indican que la hemos atravesado antes debemos retroceder a la encrucijada anterior y allí elegir una vía sin marcas, o en su defecto salir por una que tenga sólo la señal de entrada.

Con estas precauciones recorreremos dos veces toda la red, y llegaremos al punto deseado. Si estábamos perdidos, seguro que daremos con la salida. Así que, contra la vieja creencia, un laberinto no es nunca inextricable.

No importa que el grafo represente un laberinto, las galerías de una mina, los senderos de un bosque o las calles de una ciudad. Siempre podremos llegar al punto deseado. Eso si, puede que tengamos que recorrer casi toda la red, ¡y además dos veces!

Resulta entretenido un juego consistente en dibujar un grafo y recorrer todas sus conexiones respetando las reglas establecidas. Al igual que en un laberinto real no podemos orientarnos viendo todo el conjunto, podemos imitar en nuestro juego esta circunstancia tapando el dibujo con un cartón agujereado de modo que sólo podamos ver las vías que parten de cada nudo, elegir y marcar por esa ventanilla e ir recorriendo el grafo nudo a nudo. Si no cometemos errores y al llegar a un punto en que ya no podemos seguir el juego levantamos el cartón, comprobaremos que toda la red ha sido recorrida dos veces.

(Siendo niño me entretuve alguna vez con este juego. ¡Largos veranos de Écija, aquellas tardes tórridas en las que, hasta el atardecer, sólo se podía leer o jugar, tumbado en el suelo de frescas baldosas, con las contraventanas entornadas!)

En un grafo puede haber lazos, ciclos, vértices con un solo lado, conexiones únicas o múltiples. La figura que sigue es ejemplo de grafo con todas estas variantes. Tiene veintisiete vértices y treinta y tres lados, por lo tanto, contabilizamos 67 puntos consecutivos en el recorrido, contando el de entrada y salida. Si comenzamos en el punto en que nos habíamos extraviado encontraremos la salida antes de totalizar el recorrido.

Obsérvese en este ejemplo que el número de visitas a cada vértice coincide con el número de vías concurrentes. El lazo cuenta como dos, pues dos son sus accesos desde la encrucijada correspondiente.

(pulsar sobre la figura para ampliarla)

Los grafos, como conjuntos de relaciones, son una ayuda imprescindible para estudiar objetos complejos, como los circuitos electrónicos. Pero también lo son para visualizar cualquier sistema o proceso.

Igualmente sirven para ordenar acontecimientos y tomar decisiones. 

Me atrevo a decir que un grafo es una metáfora de la conducta en la vida, donde encontramos atolladeros y callejones sin salida, encrucijadas en que hay que tomar decisiones sobre qué camino seguir. Y en muchas ocasiones debemos volver sobre nuestros pasos e iniciar otra ruta.

La enigmática alegoría de Durero no aparecía completa en la edición cuya portada reproduje. Sí lo estaba en mi libro, hasta que en una encuadernación defectuosa se suprimió la portada. La palabra que transporta el monstruo alado da todo su sentido poético esa melancolía que el ángel trata de combatir con los elementos del trabajo y el estudio.

Mientras funcione la mente está prohibido aburrirse.