Dibujo en la ingeniería (II-e)

Prosigo la publicación del manual de Expresión Gráfica con el que comencé mis clases universitarias. Continúo a partir de las observaciones sobre la uniformidad. Las coordenadas gaussianas garantizaban que nos movíamos en un espacio continuo; las euclídeas, que se trataba de un espacio uniforme, homogéneo. Por último, las cartesianas nos aseguraban de que era isótropo, esto es, que tenía las mismas propiedades en todas las direcciones.

En el universo gaussiano, probablemente cierto a escala cósmica, el espacio se deforma, como afirma la teoría de la relatividad. Sensible a los cuerpos que lo habitan, los muy masivos desvían la trayectoria de un rayo de luz: las "fibras" espaciales que sigue no son rectas.

También el espacio puede achatarse (¿o se dilatará?). Las velocidades relativistas, próximas a la de la luz, c, producen la llamada "contracción de Lorentz" en la dirección del movimiento(¿se achata el móvil o se dilata el espacio?).

Pero a  nuestra escala espaciotemporal el espacio es esencialmente cartesiano: las rectas son rectas y la escala que rige desplazamientos y velocidades de los movimientos es la misma en cualquier dirección.

Las ecuaciones del movimiento que tomamos como modelo nos permiten entonces el uso de un único parámetro temporal. El vector "posición" de un punto puede ser definido por un vector "tiempo" equivalente.

En este espacio cartesiano, las unidades de medida son las mismas para los ejes que lo definen (tres en el caso tridimensional). Veremos que entonces tiene sentido hablar de medida, no sólo para ellos, sino sobre cualquier recta de ese espacio.

La medida supone que existe una unidad que puede ser aplicada sucesivamente cualquier número de veces, y que puede también ser dividida en tantas partes iguales como se desee.

Las medidas obtenidas dividiendo la unidad en p partes iguales y aplicando esas partes n veces son "racionales". Las reales no se ajustan exactamente a las obtenidas así, pero pueden aproximarse a ellas tanto como se necesite, por exceso o por defecto, con tal de utilizar valores de p suficientemente grandes.

Sigue un ejemplo ilustrativo. Como el divisor p es 3,el nivel de exactitud que permite la medida es, por exceso o por defecto, menor de 1/3. Ese divisor puede ser tan grande como se quiera, y el error respecto al número real de uno racional que lo aproxime es tan pequeño como sea necesario. Aunque nunca podrá alcanzarse el valor exacto.

Al espacio cartesiano, con tres ejes ortogonales y una única unidad de medida, le es aplicable el teorema de Pitágoras, con cuya aplicación la medida se puede aplicar a cualquier dirección.

Dos puntos definen un espacio unidimensional (recta). Un punto exterior a él (fuera de la línea) añade una dimensión más, y un cuarto punto fuera de ese espacio bidimensional (un plano) nos sitúa necesariamente en un espacio de tres dimensiones. Si imaginamos un punto más fuera de ese espacio necesitaremos cuatro dimensiones. Y así sucesivamente. Esto vale para cualquier espacio euclídeo.

Los puntos básicos delimitan un espacio interior a las fronteras que definen (puntos, líneas, planos... y hasta espacios, si saltamos al hiperespacio de cuatro dimensiones). Podemos considerarlo como el "entorno mínimo" en ese espacio.

Podemos construir un "entorno medio" si consideramos uno de los puntos como origen de coordenadas y el resto como extremos de vectores unitarios: deslizando esos vectores unos sobre otros barremos un espacio mayor que el anterior.

A continuación, un caso particular de los entronos anteriores, al considerar un espacio cartesiano:

El "en-torno maximo" (en-torno al punto origen) en el espacio cartesiano lo abarcan todos los vectores de igual medida y con todas las direcciones del espacio:

Con esto remata el capítulo segundo de este divertimento mío (y he de reconocer que de un número reducido de mis alumnos, que en su mayoría eran de cultura poco autotélica y algo filistea).

(sigue)