La dimensión de un espacio es el número mínimo de datos ("variables") necesario para localizar un elemento ("punto") en él. Esos datos se expresan como números que indican posiciones medidas a partir de un "origen".
Así, sobre una línea basta un número para localizar un punto, pero sobre una superficie un punto se localiza mediante dos líneas trazadas sobre la superficie, que se cortan en él. No importa mucho cómo sean esas líneas, sí que sean continuas; pero es evidente que definen el punto, que puede localizarse sobre ellas mediante dos valores que lo relacionen con un origen marcado sobre cada una.
Y en un espacio tridimensional, tres líneas definen un punto con los mismos criterios.
Si sobre una línea hay infinitos puntos (entiéndase bien, muy, pero que muy infinitos, porque en cualquier fragmento por pequeño que sea los hay en infinita cantidad), en los puntos de una superficie hay "muchos más". Y si se localizan todos en la intersección de dos líneas, por cada punto de una de ellas debe haber otra, esto es, toda una familia de líneas tan próximas entre sí como queramos, llenando toda la superficie.
Si repetimos el razonamiento para la otra línea que pasaba por el punto, llegamos a la misma conclusión, obteniendo otra familia semejante de líneas. Así obtendremos un entramado de líneas, una red infinitamente tupida, y localizaremos cualquier punto sobre una pareja de ellas.
Las líneas de una familia no pueden cortarse entre sí, porque por la intersección pasarían tres líneas. Se trata de un tejido infinitamente tupido, para no dejar escapar ningún punto por los inexistentes agujeros de la malla.
El razonamiento puede extenderse al espacio tridimensional, en el que infinitas superficies, tan próximas entre sí como queramos, lo rellenan por completo. Dos familias de líneas en cada superficie y una tercera que las atraviesa a todas forman una trama de infinitas superficies organizadas en tres familias. Y si cada superficie contiene dos familias de líneas, cada línea es el encuentro de dos superficies, de dos familias diferentes.
Conceptualmente, podremos extender el concepto de dimensión a un número mayor de dimensiones, como ya he considerado aquí. Y sobre la continuidad y los números reales que la "realizan" (valga el doble sentido) ya hice toda una serie que comienza aquí.
Los n valores que permiten localizar cada punto en un espacio de dimensión n son las coordenadas del punto. Se trata de números reales, los únicos capaces de llenar completamente una línea, porque a cada punto le corresponde necesariamente uno y solamente uno.
Las líneas sobre las que localizamos los puntos son habitualmente líneas rectas, pero pueden ser cualesquiera líneas continuas, con sólo dos condiciones: que en cada familia se puedan hallar infinitas líneas tan próximas a una dada como se quiera (y eso en todos sus puntos) y que esas líneas jamás se corten entre sí. Son como manojos de cables infinitamente finos e infinitamente tupidos.
Fijaremos algunas definiciones:
Comenzamos con una sola línea, y en ella una sola dimensión:
Dos familias de líneas sobre una superficie:
Tres familias de líneas (y de superficies):
Con un poco de parafernalia matemática, podemos localizar cada punto por tres coordenadas. Si imaginamos el punto en movimiento, cada coordenada es función de un parámetro temporal, y eso para cada dimensión. Resulta que también ese "tiempo" es multidimensional puesto que lo hemos de considerar independientemente para cada familia de líneas, sobre la que indicaría el desplazamiento de una superficie que contuviese líneas de las otras dos familias:
Recapitulando, este cuadro resume lo que acabamos de ver:
Y esto es lo que pasa en los espacios de una, dos y tres dimensiones:
Enough for today...
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