El dibujo en la ingeniería (II-d)

Lo que sigue es otra entrega del manual de Expresión Gráfica que difundo desde aquí. Continúa lo visto antes sobre coordenadas gaussianas.

Imaginábamos unos manojos de "fibras" continuas, infinitamente delgadas e infinitamente apretadas, líneas, por las que circulaban unos móviles sin dimensión, que formaban varios haces entrecruzados. En sus nudos podíamos encontrar los puntos de un espacio cuya dimensión era el número de esos haces (dos para una superficie, tres para un espacio tridimensional gaussiano).

Hay que imaginar el espacio gaussiano como un espacio "ondulado". Si la referencia de la rectitud es la trayectoria de un rayo de luz, en él no sería recta. A una cierta escala sideral sabemos que es así, pero en nuestra vida cotidiana el espacio es relativamente más uniforme (aunque hay fenómenos en que la luz no sigue una línea recta, como la refracción y los espejismos).

Sigamos la trayectoria de uno de esos canales gaussianos viajando en un vehículo  "puntual" (no me refiero a un autobús, desde luego).

Mientras mi vehículo está parado su velocidad es nula y no se puede hablar de trayectoria. Si se mueve, habrá un desplazamiento en función del tiempo que vaya transcurriendo, a una cierta velocidad, que puede ser constante (aceleración nula) o variable (aceleración no nula). La aceleración, si la hay, puede ser longitudinal, que hace variar la velocidad en la dirección de avance, o transversal, que desvía lateralmente la ruta a seguir.

Tanto el desplazamiento como la velocidad siguen la dirección del movimiento, pero la aceleración puede ser una combinación de longitudinal (freno y acelerador, para entendernos) y transversal (volante).

Hay para el desplazamiento, dos posibilidades: que sea nulo y que no. Para la velocidad, que sea nula, constante o variable. También la aceleración puede ser nula, constante o variable. Entre las posibilidades hay tres casos notables:

• movimiento rectilíneo y uniforme: velocidad constante, aceleración nula
• movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: velocidad variable, aceleración longitudinal constante, aceleración transversal nula
• movimiento circular uniforme: velocidad constante, aceleración longitudinal nula, aceleración transversal constante

El factor esencial que rige los movimientos es la aceleración. En estos tres movimientos simples la aceleración es, o bien nula en sus dos componentes, o bien nula en una y constante en la otra. 

Los movimientos reales son más complejos, con variaciones tanto de dirección como de velocidad y aceleración. Sin que estas variables permanezcan fijas, todos ellos son continuos (ni siquiera los catastróficos dejan de ofrecer una mínima continuidad). 

Esto quiere decir que en un tiempo nulo el desplazamiento debe ser nulo, y también el cambio de dirección. Si ese cambio de dirección sigue siendo nulo en un tiempo mayor, el movimiento será rectilíneo. Ese cambio de dirección nulo, la trayectoria rectilínea, implica que no haya aceleración "centrípeta", transversal a la dirección del movimiento. La relación entre esa aceleración y el giro del móvil es clara. Basta ver que a mayor desviación del volante de un coche corresponde menor radio de giro, esto es, mayor curvatura de su trayectoria. Si el cambio de dirección es brusco, la aceleración centrípeta es enorme. Recordemos el accidente de Angrois...

Si faltan ambas aceleraciones el movimiento es rectilíneo y uniforme, con velocidad constante.

Si no hay aceleración lineal, pero sí transversal, la velocidad es constante. Si también es constante esa aceleración también lo es el cambio de dirección. Trayectoria circular, como ya hemos visto, con aceleración dirigida hacia el centro, por eso se llama aceleración centrípeta.

En lugar de abarcar un espacio amplio, vayamos reduciéndonos y abarcando cada vez menos extensión, siendo cada vez más pequeños, cada vez más insignificantes, mientras nuestro espacio crece y crece alrededor....

Al restringirnos, dentro de ese espacio gaussiano, al entorno de un punto, cuanto más pequeño sea el ámbito más se parecerán las trayectorias a líneas rectas, porque menores serán los tiempos y los recorridos, y con ellos los cambios de velocidad y de ambas aceleraciones, lineal y centrípeta. Tenderemos a seguir localmente un movimiento uniforme, rectilíneo o circular, aunque ambos casos tienden a confundirse en lo instantáneo.

En el movimiento circular uniforme, con tiempos decrecientes, tendentes a cero, la curvatura, magnitud inversa del radio de la trayectoria, permanece constante. Como a mayor radio hay menor curvatura, cuando el arco recorrido disminuye su longitud tiende a parecerse a un segmento de recta. Esto es importante para la creación de modelos poligonales o circulares de cualquier movimiento, ambos tanto más ajustados al movimiento real (o a la línea real) cuanto más pequeños sean los intervalos de tiempo (y de recorrido) considerados.

Si en un entorno muy reducido las "fibras" del espacio gaussiano tienden a ser rectas es que se parece localmente a un espacio de líneas totalmente rectas, el espacio euclídeo:

Aquí dejo esos movimientos básicos (con aceleración total nula y con aceleración sólo transversal y constante) con los que puede aproximarse cualquier trayectoria utilizando una sucesión de segmentos de recta o de arcos de circunferencia, en un modelo poligonal o circular de movimeinto  El ajuste es tanto mejor cuanto menores son esos segmentos o arcos, y ambos modelos coinciden en el límite en que los recorridos tienden a cero:

Considerando porciones de espacio cada vez más reducidas, todo ámbito gaussiano tiende a la uniformidad. Entonces, las trayectorias serían cada vez más rectilíneas y uniformes. Un espacio que cumpla estas condiciones es un espacio euclídeo. En tal espacio, las líneas de referencia son rectas y las superficie son planos:

Así es la malla euclídea, y las ecuaciones del movimiento en función del parámetro vectorial t, de tantas componentes como imponga la dimensión del espacio, serán ecuaciones lineales (de primer grado):

La comparación que sigue entre un espacio de Gauss y uno de Euclides estriba precisamente en la linealidad de las ecuaciones del segundo:

Nuestro vehículo ideal, tan pequeño como un punto, no está afectado por una posibilidad a la que está sometido un móvil real: que la carretera tenga alabeos (¡menos mal si son peraltes bien calculados!) y se incline lateralmente a un lado u otro, e incluso tanto que nos haga volcar, girando el vehículo sobre su eje longitudinal. Además de la desviación hacia los lados de la trayectoria tenemos que contar con su torsión. El recorrido en ese caso se parecerá al de un tornillo que se enrosca: la dirección del vector "aceleración transversal" puede girar en un plano perpendicular a la trayectoria.

Dejemos eso por ahora, pero conviene no olvidarlo, dado que las líneas gaussianas no tienen por qué ser planas en un espacio de tres dimensiones.

Por otra parte, si viviéramos en un espacio gaussiano, ¿cómo podríamos saberlo? Estaríamos tan deformados como él, y sus líneas deformes serían para nosotros tan rectas como las rectas de un espacio euclídeo ideal.

Estaremos pues más tranquilos y seguros, y nos complicaremos menos la vida, si creemos vivir en un espacio euclídeo. Es una aplicación del principio antrópico. El universo es así (para nosotros), porque así lo vemos, y sus leyes son las mismas en cualquier punto. No sabemos nada, salvo conjeturas, sobre aquellos puntos singulares o regiones en que el espacio deje de ser homogéneo, gaussiano o euclídeo, que tanto nos da:
 

Otra gran ventaja del espacio euclídeo. El origen de coordenadas, ese punto de referencia para situarnos, puede trasladarse sin problemas de coherencia, nada más que situándolo en otro punto cualquiera, cambiando los términos independientes de las ecuaciones.

En este modelo móvil del espacio hemos llegado a un concepto, el de homogeneidad, en que suponemos tres direcciones con móviles que se cruzan coincidiendo en un momento dado en el punto de nuestro interés. Su movimiento es rectilíneo y uniforme, pero nos queda una duda: ¿es igual la velocidad en cada una de las rutas? Porque cuando no sea así, el tal espacio será homogéneo, pero no podemos llamarlo isótropo, porque sus propiedades no son las mismas en todas direcciones.

Aparece ahora otro concepto a mayores, el de isotropía, y a él ligado el de ortogonalidad:

Como para muestra basta un botón, un ejemplo gráfico. El espacio no ortogonalizado es, como se ve, un espacio "estirado" o "achatado":

Aunque, de habitar en él, nosotros también estaremos achatados o estirados, y no habrá manera de saberlo. Pero ¿por qué no imaginarnos en ese espacio homogéneo e isótropo de la experiencia diaria?

Nos complicaremos menos la vida.

(sigue)