Este apilamiento de cubos, en que los contiguos comparten las aristas, pero nunca las caras, deja igualmente vacía la mitad del espacio, que podría rellenarse con otros tantos de otro color, como los escaques de un ajedrez tridimensional. Comprobamos que la mitad está vacía, porque cada arista de la red es compartida por dos de las cuatro posibles:
En esta otra figura, los cubos están aún más aislados entre sí, y los contiguos solamente comparten los vértices.
Como en cada vértice podría haber ocho y sólo hay dos, se ocupa únicamente la cuarta parte del espacio:
Entre las caras enfrentadas podemos colocar más cubos hasta llenar las tres cuartas partes vacías.
Estos son los cubos añadidos, que triplican en número a los que había antes. La agrupación que forman podría descomponerse en tres conjuntos idénticos al anterior:
Cada cubo puede dividirse en seis pirámides cuadrangulares, con bases en cada una de las caras y vértice común en el centro del cubo. Cada pirámide comparte sus caras triangulares con otras cuatro, y sólo el vértice con la quinta restante:
Estas son las tres parejas opuestas por el vértice:
El cubo en explosión. Invertimos las posiciones de cada pareja y las agrupamos alrededor de un cubo entero. Se obtiene un poliedro cuyo volumen dobla el del cubo. Sus caras son rombos, y son tantas como aristas tiene el cubo. Es un rombododecaedro:
Naturalmente, no hemos llenado con esto todo el espacio, sino únicamente la mitad. Pero está claro que lo llenaremos todo apilando rombododecaedros.
Podemos colorear, con seis colores, el poliedro, empleando el mismo para las caras opuestas.
Apilémoslas pues, adosando las del mismo color:
Y colorín colorado, este cuento poliédrico se ha acabado.
No hay comentarios:
Publicar un comentario