El punto de partida de la serie ha sido el estudio de los ángulos poliedros formados por polígonos regulares. Hemos visto como todos ellos eran inscribibles en una esfera de los vértices. En algunos casos podían completarse con otros ángulos poliédricos iguales adosados al primero, hasta completar un poliedro convexo de vértices idénticos. Sus caras pueden ser también iguales (poliedros regulares) o de hasta tres clases (semirregulares). Pero nunca puede haber cuatro polígonos diferentes en un vértice.
La razón para esto es simple: comenzando por el triángulo equilátero (ángulos de 60º), si en el vértice coinciden además un cuadrado (90º) y un péntágono (108ª), ya no es posible inscribir un hexágono (120º), pues la suma de ángulos (378º) excedería en 18º del ángulo completo de 360º y el poliedro no se podría cerrar. Mucho menos si elegimos polígonos de mayor numero de lados.
De manera que los poliedros de caras regulares que pueden inscribirse en una esfera son los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos y un número algo mayor de poliedros semirregulares o sólidos arquimédicos, con caras de dos o tres clases.
En cualquier caso, partiendo de aristas iguales, el tamaño de la esfera depende del "defecto plano", esto es, de la diferencia entre la suma de ángulos en el vértice y el ángulo completo. Así, para el tetraedro (3,3,3) el defecto es de 180º y la esfera es muy pequeña, mientras que para el dodecaedro achatado (3,3,3,3,5) es de 12º y para el rombiicosidodecaedro (4,6,10) el defecto plano es de sólo 6º. En estos casos las esferas resultantes son mucho mayores. Se plantea entonces qué ocurrirá a esa esfera cuando la suma de ángulos en el vértice es exactamente 360º.
Por eso, en el siguiente capítulo, las redes planas, consideramos esos casos en que el defecto plano se reduce a 0º. Comprobamos allí que el resultado es un mosaico infinitamente extenso, la esfera que contiene los vértices crece infinitamente y coincide con el plano. Si desde su centro infinitamente lejano proyectamos el mosaico sobre esa esfera-plano, el trivial resultado es el mismo mosaico.
No ocurrirá lo mismo si proyectamos sobre la esfera, desde su centro, las aristas de un poliedro convexo. En este caso, la proyección de cada segmento rectilíneo es un arco de círculo máximo, que tal es la intersección del plano proyectante con la esfera.
Resulta de la proyección la división de la esfera en polígonos esféricos limitados por aristas curvas iguales. Estas aristas, arcos de circunferencia máxima, son líneas geodésicas que recorren la distancia más corta posible entre vértices que puede medirse sobre la esfera.
Y del mismo modo que los mosaicos planos podíamos construirlos sobre unos módulos elementales que eran triángulos rectángulos, ahora también existen módulos elementales. Ahora son triángulos esféricos rectángulos, los cuales, reproducidos mediante simetría bilateral, componen cada uno de los polígonos.
Del repertorio de estos poliedros esferificados dejo a continuación algunos ejemplos que corresponden al sistema esférico más complejo, el del dodecaedro.
Así queda la esfera dividida en los módulos elementales del sistema, ciento veinte en total, con dos formas enantiomorfas, no superponibles por desplazamiento y sí por simetría:
Cada módulo es la décima parte de un pentágono y la sexta de un triángulo. Sus ángulos son por lo tanto 36º, 60º y 90º, Esta anomalía relativa a lo que ocurre en el plano, donde los ángulos del triángulo deben sumar 180º mientras aquí suman 6º más, se conoce en geodesia como exceso esférico. El exceso esférico es una medida de la porción de superficie que ocupa el triángulo. La suma total de los ángulos de los triángulos que componen la superficie esférica es de ocho ángulos rectos, o cuatro ángulos completos, o sea, 720º. Así que nuestro exceso de 6º implica que la esfera se compone de 120 módulos.
Compruébese para la esfera terrestre. Divididámosla en cuatro gajos por los meridianos 0º, 180º , 90º E y 90º O, partiéndolos luego por el ecuador en ocho octantes. Se han obtenido así triángulos a la vez trirrectángulos y equiláteros. Sus ángulos suman 270º, con un exceso esférico de 90º. Efectivamente, la suma de los ocho excesos completa los 720º.
Los círculos máximos están contenidos en los planos de simetría:
Ahora vamos a por los poliedros regulares del sistema.
El dodecaedro (5,5,5), con doce caras pentagonales compuestas por diez módulos. Su defecto plano es de 36º:
El icosaedro (3,3,3,3,3), de caras compuestas por seis módulos. Defecto plano, 60º. por ello lo consideramos menos esférico que el anterior:
El icosidodecaedro (3,5,3,5), de caras pentagonales formadas por diez módulos y caras triangulares de seis (aquí el módulo queda dividido en dos submódulos semejantes a él). Defecto plano, 24º (más esférico que los anteriores):
El dodecaedro truncado (3,10,10), en el que cada módulo ha sido dividido también en dos partes. Defecto plano, 12º:
El icosaedro truncado (5,6,6). El módulo está también partido en dos. El defecto plano es también de 12º:
Estos dos últimos poliedros semirregulares, truncados, están compuestos por dos clases de polígonos, como el icosidodecaedro, pero su esfericidad es mayor. Siguen a continuación dos poliedros con tres clases de caras.
Rombiicosidodecaedro (3,4,5,4). Caras triangulares, cuadradas y pentagonales. Defecto plano, 12º, como los anteriores:
Gran rombiicosidodecaedro (4,6,10). Caras cuadradas, hexagonales y decagonales. Defecto plano, 6º, (más esférico):
Todavía encontramos otro poliedro semirregular, el dodecaedro achatado (3,3,3,3,5). Su peculiaridad es que carece de planos de simetría, aunque la tengan sus caras. De vértice en vértice podemos reproducirlo por desplazamiento, pero no por reflexión especular como los anteriores. Existen por ello dos variedades enantiomorfas. Defecto plano, otra vez 12 º:
El poliedro que sigue, pese a su sencillez y regularidad formal, no es regular ni semirregular según lo hemos definido,por dos razones. En primer lugar, sus caras no son polígonos regulares sino rombos, pero además tiene dos tipos de vértices, uno con tres y el otro con cinco polígonos concurrentes.
Compuesto por 30 rombos, al agruparse en cuaternas los 120 módulos, el poliedro que hemos proyectado sobre la esfera carece de una única esfera que contenga a todos los vértices, pero sí tiene en cambio una única esfera de las caras. Helo aquí:
Uno de los poliedros anteriores, el icosaedro truncado (5,6,6), ha sido elegido para fabricar balones de fútbol. Hay razones para ello.
Porque aunque no es el más esférico (lo es el gran rombiicosidodecaedro (4,6,10) con un defecto plano menor), es mucho más sencillo de fabricar. Por su menor número de piezas, porque lo componen dos tipos de polígonos en vez de tres y porque esos polígonos son más parecidos, tanto en tamaño como en número de lados. Las dos esferas tangentes a las cara, las pentagonales y las hexagonales, son casi del mismo diámetro.
Esto favorece que al inflar elásticamente el balón poliédrico el resultado se aproxime más a la esfera perfecta que los antiguos balones construidos con una geometría heredada del cubo. Volveré sobre ellos en algún momento.
(sigue)
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