Los ángulos poliedros de partida son únicamente los que pueden formarse combinando polígonos regulares adosados por una arista común, compartiendo también todos ellos un vértice. Con estas limitaciones pueden reunirse en torno a éste desde tres hasta, en un solo caso, seis polígonos. Los polígonos que se adosan pueden tener cualquier número de lados, pero la suma de sus ángulos concurrentes no puede superar los 360º, caso en que formarán una figura plana. De ahí el caso extremo y único de agrupación de seis triángulos equiláteros. En todos los demás casos se tratará de ángulos triedros, tetraedros o pentaedros.
Consideremos el caso de reunir un heptágono, un hexágono y un pentágono. La suma de ángulos es algo menor de 360º, y la figura plana no permite un adosado triple:
Pueden adosarse los tres si salimos del plano y aceptamos una figura en el espacio.
El venerable teorema de Pitágoras, universal base para el estudio vectorial de los espacios cartesianos y padre del concepto de medida, va a ser fundamental en los razonamientos empleados aquí.
Tracemos tres planos perpendiculares a las aristas compartidas por el centro de cada una. Los tres planos se cortan en un punto común O. Comparemos las distancias de O a cada uno de los puntos L, M, N, P1, P2, P3, V0, V1, V2, V3. Recordemos que pueden agrandarse las figuras pulsando sobre ellas con el botón izquierdo del ratón.
En los triángulos rectángulos OP1V0, OP1V1, OP1V3, siendo OP1 común e iguales los radios r1 = P1V0, = P1V1, = P1V3, los catetos de igual medida hacen también iguales las hipotenusas OV0, = OV1, = OV3. Idéntico razonamiento aplicado a los otros polígonos demuestra que la misma medida tiene OV2. Es decir, la distancia de O a los cuatro vértices V es la misma, luego puede trazarse una esfera con centro en O que contenga a estos vértices y a todos los de los tres polígonos, circunscrita al conjunto. La llamaremos esfera de los vértices.
De igual modo podrán trazarse esferas concéntricas a ella, tangentes a las aristas en L, M, N, y a las caras en P1, P2, P3, pero como los polígonos son diferentes, son diferentes también las apotemas p1, p2, p3, y los radios r1, r2, r3, y por ello también lo serán OL ≠ OM ≠ ON, que definen distintas esferas tangentes a las aristas, y OP0, ≠ OP1, ≠ OP3, radios de las esferas tangentes a las caras.
Pero si los tres o más polígonos adosados son figuras iguales, sí existen una común esfera de las aristas y otra esfera de las caras, compartidas por todos ellos. Además, como consecuencia, podríamos seguir adosando polígonos hasta completar un poliedro regular cerrado, con caras, aristas y vértices idénticos.
Si deshacemos la figura, haciendo coincidir los tres polígonos en el plano, El centro O se alejará infinitamente, y las esferas de caras, aristas y vértices se aplanarán hasta coincidir en el plano, que es el caso límite a que se aproxima una esfera cuando su radio crece sin limitación.
En nuestro caso queda un pequeño ángulo que rellenar, pero existen polígonos que llenan ese hueco, y en el caso de poderlos adosar sin limitación tendremos un poliedro plano de infinitas caras, esto es, un mosaico.
A continuación represento los resultados de añadir sucesivamente a un pentágono regular uno, dos, tres y hasta cuatro triángulos. Un quinto excede el límite del ángulo completo de 360º. con dos triángulos obtendremos una pirámide pentagonal con su correspondiente esfera circunscrita. Con tres, la figura llamada antiprisma pentagonal. Con cuatro, un dodecaedro achatado. Figuras que irán apareciendo en esta publicación.
En las figuras que siguen, de izquierda a derecha, se representa el desarrollo plano del ángulo poliedro, y a la derecha dos vistas ortogonales entre sí del resultado al pegar las aristas sueltas. Sucesivamente obtenemos los vértices de polígonos regulares de caras triangulares: respectivamente tetraedro, octaedro, icosaedro y el mosaico plano regular compuesto de triángulos equiláteros. La última figura es el vértice en que concurren tres caras de un cubo.
En el enlace dado figura el inventario completo de todos los ángulos poliedros posibles que se pueden construir con los criterios expuestos.
Entre paréntesis, los ángulos representados con la notación de Schläfli, donde las cifras indican el número de lados de los polígonos que vamos adosando sucesivamente.
Aquí siguen, con el mismo criterio, un embaldosado plano regular de piezas cuadradas, dodecaedro, embaldosado hexagonal y una pirámide cuadrangular equivalente a medio octaedro.
A continuación, prisma triangular, antiprisma cuadrangular, un poliedro no regular y un cuboctaedro.
Y para terminar este aperitivo, los poliedros denominados rombicuboctaedro, cubo achatado, dos mosaicos semirregulares y una pirámide pentagonal.
Pasadlo bien, si os sentís con fuerzas...
(sigue)
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