Recordaré que en un ángulo poliedro de caras regulares existía una única esfera de los vértices V que los contenía a todos, y esferas de las aristas y de las caras, tangentes a estos elementos por sus centros. L. M. N para las aristas, P para las caras. Estas esferas de caras y aristas son comunes para todos los polígonos cuando son iguales todos ellos.
En lo que sigue, P indica el centro de un polígono, L el centro de un lado y V un vértice. Estos son los puntos de tangencia de las esferas. Claro que cuanto más se acerca a 360º la suma de ángulos concurrentes en el vértice, más crece la esfera, que, cuando el crecimiento es infinito, se convierte en un plano. El centro de esa esfera infinita es el punto del infinito de las rectas perpendiculares al plano, y esa esfera-plano es única para caras, aristas y vértices. Todo queda en ella, y prescindimos de la tercera dimensión.
Ya teníamos catalogadas todas las combinaciones posibles de polígonos. Identificadas así las formas planas, podemos comprobar qué ocurre para cada combinación.
Hay tres de estas formas que son completamente regulares, formadas respectivamente por triángulos (seis por vértice), cuadrados (cuatro por vértice) y hexágonos (tres). Comprobamos que las mallas triangular y hexagonal pueden superponerse, ajustando ambos mosaicos de modo que coincidan los centros de polígonos de una red con los vértices de la otra, y también los centros de los lados de ambas, que se cortarán perpendicularmente en ellos. Diremos que estas redes son duales.
También para la malla cuadrada hay otra dual, pero es idéntica a ella misma, tomando como vértices para la segunda los centros de cara de la primera. Es un caso de autodualidad.
La notación de Schläfli revela cómo se produce la dualidad. Al vértice de la malla triangular corresponde la fórmula (3,3,3,3,3,3) y al de la malla hexagonal (6,6,6): seis polígonos de tres lados para una, tres de seis lados para la otra. Para la malla cuadrada (4,4,4,4) es indiferente intercambiar el número de lados del polígono por el de polígonos en un vértice: en ambos casos hay cuatro polígonos de cuatro lados.
También hay redes, llamadas semirregulares, con polígonos de dos clases, La notación de Schläfli revela que no todas las caras son iguales, pero sí lo son todos los vértices, que en el caso que sigue obedecen a las fórmulas (3,3,3,4,4) y (3,3,4,3,4). Con los mismos polígonos, la alteración de su orden produce dos mallas bien diferentes:
Fijémonos en la disposición de los puntos P, L y V que rodean a V0, y se observará que los puntos más próximos entre sí forman en todos los casos triángulos rectángulos con catetos PL y LV e hipotenusa PV.
Estos triángulos, formados por los lados de los polígonos y sus ejes de simetría, son los módulos elementales que constituye las redes. Ellos mismos carecen de simetría, salvo en las red cuadrada, autodual, en que son isósceles. E existen en dos formas, llamadas enantiomorfos, que no se pueden superponer mediante movimientos en el plano (tal como la mano izquierda y la derecha no pueden suporponerse con movimientos sobre una mesa, pero sí con un giro en el espacio).
Otro ejemplo de red, de fórmula (3,6,3,6):
Y otro más, (3,3,3,3,6). Obsérvese que aunque cada polígono tiene simetría especular, la red carece de ella:
Sin embargo, puede establecerse la relación con la malla triangular, que no permite la simetría especular pero hace posible la coincidencia por traslación de centro en centro de los hexágonos:
No hay comentarios:
Publicar un comentario