Se trata de definir las teselas más simples. En un caso para el plano y otro para la esfera la pieza es única, en otros existe en dos variedades enantiomorfas (una "de la mano derecha", otra "de la mano izquierda").
Los casos de pieza única son los que llamamos autoduales. Se trata del mosaico cuadrado para el plano y del tetraédrico para la esfera. La pieza es irreducible y su descomposición sucesiva no conduce a otras carentes de simetría. En los demás casos, la pieza carece de simetría interna y su combinación produce formas duales diferentes.
Comenzaré por las redes planas, cuya pieza elemental es un triángulo rectángulo, vemos que hay dos posibilidades regulares.
En la primera de ellas la pieza es un triángulo escaleno, y produce tres redes posibles. Agrupados de seis en seis, una red triangular; de doce en doce una hexagonal, dual de la primera, porque los vértices de una coinciden con los centros de la otra; y adosados de cuatro en cuatro, una red de rombos.
La segunda, la red cuadrada, es autodual y ofrece muy poca variedad, porque el triángulo rectángulo isósceles que es su módulo elemental, se agrupe como se agrupe, siempre produce cuadrados.
De todos modos voy a mantener la sistemática de diferenciar la red primaria, que señalo en color rojo, su dual, en color amarillo, y la rómbica, cuyas fronteras marco de azul, y lo que vale para el plano va a ser aplicable también a los desarrollos esféricos.
La malla esférica más simple, que es también autodual, proyecta el tetraedro sobre la esfera circunscrita. Los cuatro triángulos equiláteros esféricos, descompuestos cada uno en seis triángulos rectángulos isósceles, esféricos también, produce veinticuatro módulos iguales. Las redes regulares iguales agrupan los triángulos de seis en seis y producen cuatro grandes triángulos equiláteros. La red rómbica los agrupa de cuatro en cuatro y produce seis cuadrados. El resultado es un rombohexaedro que resulta ser... un cubo.
Si proyectamos un cubo y su descomposición en módulos sobre la esfera circunscrita, los cuarenta y ocho triángulos esféricos, que ahora son escalenos, pueden agruparse en seis caras (de ocho en ocho) o en ocho caras, agrupados de seis en seis. Tenemos así las formas duales cúbica y octaédrica. La forma rómbica reúne doce caras con cuatro módulos cada una (rombododecaedro).
La proyección del dodecaedro y sus ciento veinte módulos constituyentes también produce dos formas duales, el dodecaedro, doce caras formadas por diez módulos, y el icosaedro, con veinte caras de seis módulos. El poliedro de caras rómbicas (treinta rombos de cuatro módulos) es el rombotriacontaedro.
A continuación detallo cada uno de los diferentes módulos hallados. Los dos primeros corresponden a los sistemas planos, cúbico y triangular. Los otros tres a los esféricos, sucesivamente tetraédrico, cúbico y dodecaédrico.
La arista dibujada en línea algo más gruesa pertenece al lado del polígono, y el vértice opuesto ocupa su centro.
En primer lugar, los poliedros básicos, a cuyo lado pertenece el cateto menor del triángulo.
A continuacíon, los duales. Su lado es el cateto mayor.
En los romboedros, el lado de cada caras es la hipotenusa. Su centro, el vértice rectángulo.
Pasamos a los poliedros semirregulares. El módulo de los que, tal vez abusando del lenguaje, llamé polipoliedros, generalizando el nombre de algunos de ellos (cuboctaedro, icosidodecaedro), es dividido en dos por la altura construida sobre la hipotenusa, que pertenece a las aristas, mientras los vértices acutángulos separados por ella ocupan los centros de los distintos poliedros.
En los sistemas planos, la malla cuadrada se reproduce a sí misma a una escala menor, como corresponde a su extrema simetría. La triangular tiene en cada vértice dos triángulos y dos hexágonos separados entre sí los iguales.
De los sistemas esféricos, el del tetraédrico (tetratetraedro me atrevo a llamarlo, por analogía) es simplemente un octaedro. Nuevo cruce entre el sistema tetraédrico y el cúbico, como ocurría con el romboexaedro. Los otros dos los hemos nombrado anteriormente: el cuboctaedro (cuatro caras cuadradas y seis triangulares) y el icosidodecaedro (doce pentágonos y veinte triángulos).
Los poliedros siguientes proceden, como los anteriores, de la intersección del básico con el dual. El módulo está dividido en dos partes, perpendicularmente a la hipotenusa, de tal modo que los polígonos resultantes son regulares. La disposición de las caras es semejante a la de los anteriores.
Poliedros básicos truncados.
Poliedros duales truncados.
Ahora dividimos el módulo en tres partes, inscribiendo en él un cuadrado. Aparecen tres tipos de polígonos, y uno es, obligadamente, un cuadrado.
Si desplazamos el vértice del caso anterior desde la hipotenusa al centro de la circunferencia inscrita en el módulo, aparecen estos otros casos:
Todavía hay otros casos, correspondientes a poliedros semirregulares carentes en principio de simetría bilateral, con dos excepciones, motivadas por la "supersimetría" de las redes de partida, que son la malla plana cuadrada y el tetraedro. En este último caso, el tetredro achatado resulta ser un icosaedro, notable cruce con otro sistema. El otro mosaico sólo se repite por desplazamiento, no por simetría en su plano. Lo mismo ocurre con los poliedros achatados derivados del cubo y del dodecaedro.
Estas son las formas achatadas con simetría bilateral, considerando ahora un módulo rómbico que muestra esa simetría, menor en todo caso que en los no achatados de los mismos sistemas.
Todavía hay otros poliedros semirregulares "no isótropos" esto es, que privilegian una dirección del espacio. Los hallaréis en el capítulo completo.
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