Proporción áurea y crecimiento exponencial

A partir de unas bellas ilustraciones del arquitecto venezolano Rafael Araujo quiero seguir reflexionando sobre una de mis mayores preocupaciones, deseando que también lo sea para vosotros: el crecimiento exponencial, que es cualquier crecimiento de tasa constante.

Para explicarlo de modo muy simplificado, el crecimiento se mide siempre a partir de un tamaño previo y a lo largo de un tiempo. La razón entre los tamaños inicial y final es la tasa de crecimiento. Una tasa de crecimiento fija supone que cada nueva etapa irá aumentando el crecimiento en cantidades cada vez mayores por unidad de tiempo. Este es el crecimiento exponencial.

Hasta aquí se entiende perfectamente que el crecimiento abandonado a sí mismo se acelera constantemente. Lo que no se aprecia a primera vista es el carácter desbocado de este crecimiento exponencial.

En pleno confinamiento del mes de marzo, cuando el tema preocupaba a todo el mundo (parece que ahora algunos han perdido el miedo y otros tienen más miedo a otras cosas), publiqué aquí mismo algunas consideraciones sobre este crecimiento sostenido:

La función exponencial es aplicable a todo lo que crece (...). Si el crecimiento no se detiene, en algún momento se dispara. El crecimiento se asocia al tiempo. Sea rápido o lento, la curva exponencial es siempre la misma. Solamente varían la escala horizontal que mide los tiempos y la vertical que lo hace con los tamaños.

En la función exponencial aplicada a los procesos de crecimiento, a^x, la base a, medida en vertical, es el cociente entre los tamaños inicial y final; el exponente x, en horizontal es la medida del tiempo en que se produce ese aumento de tamaño. Por ejemplo, si x es un año y la tasa de ganancia de un capital es el 3 por 100, será a = 103/100 = 1,03. El capital, como el virus, responde a una tasa de ganancia que necesariamente tiene tendencia a frenarse con el tiempo. Diversas barreras se oponen a su crecimiento, frenándolo o haciéndolo colapsar.

Siguen algunos ejemplos representados gráficamente. Obsérvese que todas las curvas pueden obtenerse estirando o encogiendo horizontalmente cualquiera de ellas. Cuanto mayor es la base a, más se recoge la curva sobre el eje vertical; cuando la base a se va reduciendo, la curva se estira, y para a = 1 la curva llega a ser horizontal (para valores menores que 1 la curva "se da la vuelta" sobre el eje vertical y la función decrece lentamente...).

Naturalmente, todas las curvas tiene un punto común, cuando el tiempo x vale cero: sin darle tiempo no hay crecimiento posible.

a = 1

a = 1,61803… = f

a = 1,

a = 2,71828… = e 

a = 10

(Ya que la tenemos a tiro, quiero que los no muy duchos en matemáticas observéis una propiedad curiosa e intrigante de la función exponencial llamada "natural", la que tiene por base el número e = 2,71828..., vaya, la de la línea roja, Unid los puntos (-1,0) y (1,2) y tendréis la tangente a la curva en (0,1), cuya pendiente, 2/2 = 1, coincide con el valor de la función en dicho punto. Unid ahora la intersección de la vertical por 1 con la curva con el punto (0,0). Esta recta es tangente a la curva en el punto indicado. La tangente nos da como valor de la pendiente 2,71828.../1 = 2,71828... = e. En estos dos puntos, como en todos los demás, el valor de la función coincide con su pendiente. Esto se expresa diciendo que la derivada de la función exponencial natural es ella misma).

El crecimiento que se da en los seres vivos, mientras no se detiene bruscamente o se frena lentamente, obedece a la base a = 1,61803… = f. Es más fácil observarlo cuando en la unidad de tiempo x el ser crece angular o helicoidalmente. (En todo caso, f es convencional desde nuestro punto de vista, porque podríamos tomar como tiempo básico cualquier múltiplo de f, esto es, ¡cualquier número!).

Siguen algunos ejemplos de gran belleza. En todos estos casos se mantiene la tasa hasta que el crecimiento se detiene bruscamente.

La belleza matemática de la naturaleza, en ilustraciones de proporciones áureas

Si puedes pensarlo, puedes crearlo, puedes plasmarlo, puedes dibujarlo, y si hay algo que requiere del ejercicio de pensar, eso es las matemáticas, la geometría o las proporciones áureas que se han creado, plasmado y dibujado en un libro de colorear para adultos.

La proporción áurea se ha utilizado a lo largo de la historia en proyectos arquitectónicos, de diseño o fotográficos para dotar a los objetos y a las figuras de la adecuada armonía visual con la que debe percibirlos el espectador.

Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, es el famoso matemático italiano al que se le atribuye el descubrimiento de la sucesión numérica que dio lugar a esta proporción "natural" que se encuentra muy presente en la naturaleza bajo varias formas.

Las ilustraciones de proporción áurea dibujadas a mano de Rafael Araujo son una fantástica combinación de arte y ciencia.

Este arquitecto e ilustrador venezolano con un lápiz, una brújula y un transportador, ha creado durante más de 40 años, dibujos que representan la perfección matemática que se encuentra en el mundo natural y los ha recopilado en un libro de colorear para adultos con el objetivo de fortalecer la conexión entre los humanos y la naturaleza.

La Proporción Áurea está relacionada al número anotado con la letra griega Phi que equivale a 1,618 y se puede ver en todo tipo de secuencias y proporciones.

"Phyllotaxis" es la tendencia de las cosas orgánicas a crecer en espiral y el patrón numérico que se repite a menudo en la naturaleza en diferentes formas y proporciones desde conchas de mar, hojas e incluso alas de mariposa; Phi se presenta en el entorno contínuamente.

Así Araujo aplica Phi a todos los dibujos que crea, dejando visible las líneas de boceto en las imágenes finales lo que hace que las mariposas o las conchas parezcan gravitar alrededor de un entorno matemático, como en los viejos tratados de ciencia.

Algunas de las creaciones del artista venezolano le toman hasta 100 horas y todo ese tiempo invertido se ha materializado en su fantástico y calculado libro "Golden Ratio Coloring Book".