Una tesis geométrica. División pentagonal del plano

Todavía queda algo más por ver. Tras los últimos divertimentos  I ,  II  y  III  de mi persecución de las piezas simples del espacio cartesiano, acometo la recta final. Aquí está el enlace en que se puede descargar el capítulo siguiente.

Pues bien, sigue su justificación.

Las simetrías en el plano y el espacio son el fundamento para su parcelación ordenada, configurando estructuras repetitivas. El tema no puede agotarse en una tesis tan sucinta como la que comento en estos de artículos: quedan fuera muchas otras figuras, como los polígonos y poliedros estrellados. Yendo más allá, siempre me quedé con las ganas de profundizar en los politopos en dimensiones superiores a tres.

Ahora quiero presentar los dos últimos capítulos. En ellos me ocuparé de una cuestión que rondaba en alguna de las entregas anteriores. Porque si en las figuras que llenaban con regularidad el plano y el espacio aparecían simetrías binarias y ternarias, y derivadas de ellas también cuaternarias y senarias, ¿qué ocurre con las simetrías quinarias, que sin embargo, como hemos visto, aparecen en las divisiones de la superficie esférica? Porque efectivamente, sobre la superficie esférica y los poliedros que pueden proyectarse sobre ella, el pentágono juega un papel sorprendentemente parecido al del hexágono en el plano.

En el plano hemos hallado redes en las que había polígonos regulares de tres, cuatro, seis, ocho y doce lados. La simetría binaria aparece en todos, la ternaria en parte de ellos. Siempre el número de lados es divisible por dos, por tres o por ambos. De los números primos, aparte del dos y el tres, no hay más. No aparecen el cinco, el siete, el once... El nueve y otros múltiplos con más de un factor tres tampoco están presentes. ¿Por qué entonces fijarnos en el cinco y en el diez, su duplo inevitable por la omnipresente presencia del dos en la simetría de los polígonos regulares?

La razón es que el cinco y el diez aparecen sobre la superficie de la esfera y de los polígonos inscriptibles en ella. Sobre los balones de fútbol y en las cúpulas geodésicas, como ya hemos visto.

Vamos a ver que sí existen figuras relacionadas con el pentágono que son capaces de llenar el plano con sólo dos piezas simples, y también otras que, relacionadas con el dodecaedro, rellenan en condiciones similares el espacio. Eso sí: lo hacen con regularidad, en el sentido de que cumplen ciertas reglas simples, pero no con periodicidad, puesto que su forma de hacerlo es aleatoria, imprevisible e infinitamente variada.

El triángulo y el cuadrado pueden formar redes planas regulares, el hexágono es el último polígono de la serie regular que también puede hacerlo. El pentágono, en cambio, no puede: tres con un vértice común no llenan el ángulo completo, pero más de tres lo exceden, y hasta llegar a diez no volvemos a la posición de partida, después de dar tres vueltas alrededor del vértice:

Si ahora queremos obtener una red, desplazando la figura a un vértice contiguo, la tal red se nos complica y se hace más densa, especialmente si repetimos la figura completa alrededor del vértice de partida:

Dentro de esa red cada vez más tupida empezamos a descubrir ciertos rombos y caráteres, (me gusta imaginar que eran los que entretenían el alma de Merlín:

Los rombos son de dos clases, con ángulos agudos respectivos de 36º y 72º, y obtusos los suplementarios 144º y 108º. Dentro de ellos se agazapan los módulos buscados: sus ejes de simetría los dividen en cuatro triángulos rectángulos, con ángulos respectivos de 18º, 72º, 90º para uno y 36º, 54º, 90º para el otro; todos son múltiplos de a = 18º, lo que en función de a representa  a, 4a, 5a y 2a, 3a, 5a; obsérvese que son las dos formas posibles de dividir un ángulo recto en cinco partes y reconstruirlo como suma de dos ángulos múltiplos de ese quinto:

También podemos observar la aparición en la medidas de los rombos del enigmático número  F .

Ambos rombos pueden combinarse de infinitas formas para llenar el plano:

Aunque empleando uno solo esa variedad desaparece y lo que encontramos es una malla con un punto central, como aquí:

O aquí, empleando el otro rombo.

Bastaría añadir las diagonales cortas en la figura anterior para obtener el equivalente plano de algunas partes de una cúpula geodésica.

Desde luego, la variedad de vértices no es grande, y se reduce a 54 casos, resultado de descomponer el ángulo completo en partes múltiplos de 36º y 72º de todas las formas posibles. Estas son algunas:

Y aquí dejo otras:

Todas esas combinaciones de rombos alrededor de un vértice están en el enlace a la tesis que os he facilitado.

Sobre estos rombos, estudiados por Roger Penrose, encuentro algunos enlaces a la revista Investigación y Ciencia:

Los embaldosados de Penrose

Perovskitas

Pintura al óleo de Urs Schmid (1995) relativa a la teoría de Roger Penrose.

(sigue)