Una tesis geométrica. Módulos mínimos en el espacio (y III)

Una vez vistas aquí las piezas elementales del sistema de simetría del tetraedro y aquí las del sistema del cubo, veamos lo que pasa con el dodecaedro,

También en este caso tenemos planos de simetría que separan celdas en las que se pueden alojar hasta 120  piezas modulares asimétricas, existentes por lo tanto en dos variedades, "de la mano izquierda"  y "de la mano derecha". Efectivamente, si cada cara pentagonal es dividida en diez partes elementales, triángulos rectángulos, y cada una de ellos es la base de una pirámide con vértice en el centro del poliedro, doce veces diez es el número total de esos módulos.

Este es el poliedro básico D (5,5,5) del sistema, con todos sus elementos de simetría:

Siguen a continuación los ejes, 15 binarios, que van del centro de cada arista al de la arista opuesta, 10 ternarios, de cada vértice al opuesto, y 6 quinarios, que pasan por el centro de cada cara y por el de la opuesta:

Los planos de simetría definen las celdillas que alojan los módulos básicos:

Un módulo queda definido por el centro O del poliedro, El centro P de uno de los polígonos que son sus caras, el centro de un lado L de ese polígono y un vértice V del mismo. Y así 120 veces:

Los módulos de los otros poliedros del sistema se obtienen truncando el del básico por planos perpendiculares a los ejes ternarios. Este es el del dodecaedro truncado DT (3,10,10):

Módulo del icosidodecaedro ID (3,5,3,5):

El del muy futbolístico (*) icosaedro truncado IT (5,6,6):

Este otro es el módulo del dual icosaedro I (3,3,3), que inscrito en el básico lo toca con los vértices apenas en el centro de las caras:

La secuencia completa de todos ellos con sus módulos, unos dentro de otros:

Si además de los poliedros básico y dual hacemos intervenir en el desmoche al rombotriacontaedro, romboedro de 30 caras perpendiculares a los ejes binarios, resultan otros poliedros. Este es el módulo del rombiicosidodecaedro RID (3,4,5,4):

Y el del gran rombiicosidodecaedro GRID (4,6,10:

Aquí se muestra de qué forma se cortan los módulos de los poliedros básico y dual para obtener los de otros poliedros:

Y en estos otros módulos interviene también en la amputación el rombotriacontaedro:

A diferencia de los sistemas de simetría anteriores, este otro no permite llenar el espacio utilizando sus componentes. Pero sí puede ser utilizado como base para la construcción de cúpulas geodésicas, proyectando las caras (en azul en la figura) del icosaedro truncado sobre una esfera y descomponiéndolas en triángulos, como se ve a continuación:

La descomposición puede hacerse de diversas formas y en un número de triángulos muy variable. Lo importante es que todas las nuevas aristas sean cuerdas de arcos de círculo máximo (líneas geodésicas, que marcan las menores distancias entre puntos medidas sobre la esfera):

Materializando las aristas por barras y los vértices por nudos, se obtienen estructuras muy resistentes cuyo tamaño puede variar desde pequeñas cúpulas..

...a otras mucho mayores...

...que alberguen bajo ellas edificios enteros:

Esta cúpula de la Expo 67 de Montreal consta de dos capas, dos cúpulas concéntricas unidas entre sí por barras conformando una rígida red de tetraedros muy resistente:

La simetría quinaria del pentágono no parece adecuada para llenar ni el plano ni el espacio con regularidad, pero como hemos visto puede dividir indefinidamente la superficie esférica.

Aunque sobre la división basada en el pentágono del plano y el espacio no pongo aquí un punto final: aún no lo he dicho todo...

(sigue)