En la anterior publicación mostré un método para hacer perspectivas de la circunferencia. Siempre son curvas cónicas. Dejo a vuestra perspicacia averiguar en qué casos estas cónicas tienen puntos "impropios" (en el infinito). La que tenga uno solo será una parabola, si tiene dos, una hipérbola. (Como pista para quien no lo sepa ya, el público de una plaza de toros ve el ruedo como una elipse, desde el burladero se ve una parábola, un torero desde la arena ve una hipérbola. Aunque en ningún caso se den cuenta de ello).
El método para hacer estas perspectivas es universal y solamente requiere el cumplimiento de dos condiciones proyectivas en la transformación:
- Un punto se transforma en otro punto, y en él confluyen las transformadas de todas las rectas que lo hacían en el primero.
- Una recta se transforma en otra, en la que se ubican todos los puntos que corresponden a los de la primera.
Para obtenerla puede partirse de un cuadrado unidad del plano cartesiano inicial y hacerle corresponder cualquier cuadrilátero en el de destino. En esta transformación para cada cuadrilátero hay una solución única de la perspectiva.
Si en lugar del cuadrado partimos de un triángulo equilátero, cualquier triángulo del plano perspectivo proporciona, no una, sino infinitas posibilidades de perspectivas diferentes.
Podemos dibujar entonces, de infinitas maneras, mallas basadas en un triángulo, y a partir de ahí transformar en perspectivas figuras planas que se ajusten a ellas.
Para entender por qué hay infinitas posibilidades en la correspondencia hay que utilizar las rectas llamadas cevianas, de las que son casos particulares las mediatrices, bisectrices, alturas y medianas de un triángulo (todas ellas coincidentes si es equilátero). Determinan cevianas los vértices al unirlos con cualquier punto del plano. Como el número de estos puntos es doblemente infinito, las posibilidades lo son también.
Entonces, incluso sin abandonar el triángulo de partida podemos obtener distorsiones perpectivas del plano cartesiano sin más que desplazar el centro del triángulo. Resultado curioso de transformación del plano cartesiano, que conservará como puntos dobles los vértices del triángulo y en la mayoría de los casos ninguno más.
Por comodidad nos limitaremos a puntos interiores al triángulo transformado, y como caso general transformaremos el equilátero en escaleno.
Correspondencia entre los puntos notables de un triángulo y otro, incluyendo los puntos impropios, que se convierten en puntos de fuga:
Esta es una malla equilátera:
Y esta su correspondiente imagen en el plano transformado:
Además del triángulo, otras figuras pueden dibujarse en perspectiva a partir de la transformación de sus puntos notables.
Un ejemplo interesante de las posibilidades del método de correspondencia proyectiva es la obtención de una perspectiva del pentágono regular.
Para ello comenzaremos con la representación en el plano cartesiano de un pentágono regular. Comenzaremos por elegir cuatro vértices consecutivos 1, 2, 3, 4, que forman un cuadrilátero (trapecio), que ya de por sí es una perspectiva del cuadrado. La relación entre sus bases, que son un lado y la diagonal del pentágono paralela a él, viene dada por la fórmula [(√5)±1]/2. Este es el "número de oro" Φ, la relación áurea que establece la proporción diagonal / lado (con el signo +) o lado / diagonal (con signo -). Los valores respectivos son aproximadamente 1,618034 y 0,618034.
Curiosos valores: compruébese que tanto su producto como su diferencia son la unidad, mientras que su cociente viene a ser... 2,618034. ¡Qué obsesión por conservar la mantisa en distintas operaciones!
Volvamos a lo que nos ocupa. La construcción geométrica de Φ es sencilla. Tomando como unidad 2--8 la mitad del lado 2--3 se construye un triángulo rectángulo de lados 2 y 1, cuya hipotenusa 3--9 es √5. Sumando y restando 1 se construyen los dos valores alternativos e inversos de Φ. una vez restituida la unidad al lado dividiendo por 2.
Este valor es la medida de la diagonal 1--4 y de 11--3 por lo que 1--11--3--4 es un paralelogramo, y 1--11 y 2--14, paralelas, confluyen en el punto impropio 12.
Otros dos puntos impropios, 7 y 13, serán utilizados para la perspectiva.
Pasemos ahora, del plano cartesiano "objeto" al plano "imagen". En el primero, el punto 14 estaba perfectamente determinado, pero ahora, aunque podemos definir los cuatro puntos iniciales que hacen corresponderse entre sí a dos cuadriláteros cualesquier de modo biunívoco, no sabemos donde se hallará el quinto vértice.
Pero no hay que desanimarse. Siendo 1--2--3--4 una perspectiva más de un cuadrado, buscaremos su horizonte, prolongando los lados "paralelos" de esa imagen del cuadrado. Así se obtiene el horizonte 6--7.
Entre las rectas paralelas al horizonte se conservan las proporciones, como puede comprobarse con una simple referencia al primer teorema de Tales. Entonces buscaremos, con el método ya conocido, la proporción Φ sobre la recta 2'--3, y obtenemos el punto 11' que, proyectado sobre 2--3 desde 6, determina el 11. Recordemos que esas rectas proyectantes desde 6 son imágenes de rectas paralelas.
Si en el plano cartesiano en que 1--2--3--4 es un cuadrado, 6--2 y 6--11 son paralelas, la aplicación del mismo teorema nos dice que se conservan las proporciones, luego 11, 2 y 3 mantienen en esa perspetiva la razón áurea.
Ahora podemos completar la figura, prolongando las "paralelas" 11--1 y 3--4 para obtener 12. así tenemos ya el "horizonte" 12--7, y sobre él 13 como punto de fuga de 2--4. Ahora, la intersección de 1--13 y 2--12 determina el quinto vértice, 14, del pentágono. Toda esta construcción es correlativa de la efectuada en el plano cartesiano.
La correción del procedimiento se comprueba prolongando lados y diagonales y comprobando que todos los elementos paralelos confluyen en el mismo horizonte.
En un último esquema resumo las operaciones realizadas correlativamente en las dos figuras anteriores. Recordemos que el signo ∩ se lee "intersección".
Con esto remato la exposición del capítulo III de esta tan tardía publicación.
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