El dibujo en la ingeniería (III-d)

Aquí inicié una revisión de esquemas sinópticos usados para las clases de dibujo en la E.T.S. de Ingeniería Industrial de Vigo. Hace unos días publiqué otro episodio y allí señalaba al cuadrado de lado unidad como canon del plano cartesiano, con sus propiedades de continuidad, homogeneidad e isotropía. Ese cuadrado cartesiano podía proyectarse desde cualquier punto de vista sobre otro plano, pudiendo utilizarse en él como referencia, al cumplirse tres condiciones: las rectas se mantienen rectas, dos puntos y sus correspondientes en la proyección determinan rectas correspondientes, y las intersecciones de rectas correspondientes determinan puntos correspondientes en el plano cartesiano y en su proyección.

Cuando estas condiciones se cumplen, cuatro puntos de una recta y sus correlativos determinan una misma razón doble, cociente entre dos razones simples, que son relaciones de distancia entre tres puntos. Ordenados los puntos, la razón doble viene dada por los cocientes de distancias siguientes: (1º-2º / 3º-2º) / (1º-4º /3º-4º). Hay que considerar que las distancias tienen signo, positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda.

Parece un poco lioso, pero al que no supiera ya esto le bastará dibujar y ordenar cuatro puntos cualesquiera sobre una recta y medir las distancias sucesivas. Si en el plano cartesiano el primer punto es el origen O (punto cero), el tercero la unidad U (punto unidad), el segundo el punto medio M entre ambos y el cuarto el infinitamente alejado I, la razon doble podéis comprobar que vale -1: esa es la cuaterna armónica. Sustituyendo en la fórmula del párrafo precedente, tendremos: (OM/UM) / (OI/UI) = -1, dado que OM/UM = -1 y OI/UI = 1.

¡Coged un lápiz y comprobadlo vosotros mismos! ¡No os cuesta nada!

La cuaterna armónica se conserva en todas las proyecciones que hemos considerado.

Tras este inciso explicativo, que enlaza con la entrega anterior, voy a definir otro entorno importante alrededor de un punto, enorno al que he llamado "máximo". Es el que limita los puntos que no superan una distancia dada sobre el plano: la circunferencia cuyo radio es esa distancia. ¿Qué figura corresponderá en otra perspectiva a una circunferencia del plano cartesiano?

Miramos de frente un objeto plano. Nuestro ojo recibe rayos luminosos procedentes de cada punto del objeto. Consideraremos el plano como cartesiano. Cualquier otro plano inclinado cortará a esos rayos determinando una figura perspectiva.

El ojo como vértice y el círculo como base definen un cono. Todos los planos paralelos a esa base determinan sobre el cono círculos de diferentes tamaños, pero todos producen en el ojo la misma imagen, porque le envían los mismos rayos e idéntica información. Planos de diferente inclinación determinan formas no circulares pero que también producen una imagen idéntica. Son formas perspectivas.

Pero no necesitamos hacer directamente la proyección. Bastará considerar una figura perspectiva que cumpla las tres condiciones arriba mencionadas, y para ello podemos partir del cuadrado:

Este que sigue es un trazado manual de la circunferencia, que partiendo del cuadrado tiene en cuenta la relación entre su lado y su diagonal, el valor inverso de la raíz cuadrada de 2 (1,4142...) que es aproximadamente 0,707. Para un trazado manual basta dividir la mitad del lado en diez partes y tomar siete. Ningún ojo por experto que sea notará la diferencia entre 0,7 y  0,707.

Con un poco de práctica es fácil situar, entre O y U (midiendo "a ojo" para trazar "a mano"), un punto medio M, y luego otro entre O y M que diste de ellos tres y dos partes iguales respectivamente.

Con los puntos y las tangentes indicados es fácil el trazado a mano, y más si trazamos bisectrices de los ángulos centrales y aprovechamos las propiedades de la simetría:

Este trazado puede trasladarse, mediante las líneas correspondientes, a cualquier perspectiva:

Puntos y tagentes, y la propiedad de las "paralelas perspectivas" de confluir en un punto del "horizonte", facilitan el proceso:

 
En este caso el resultado es una elipse. En general cualquier perspectiva de la circunferencia es una curva cónica, que respeta, transformándola, la ecuación de segundo grado de la circunferencia. Se confirma lo explicado más arriba sobre la imagen del cono.
 

Es útil, para la perfección del trazado, intentar encuadrar la elipse en un rectángulo, cuyas paralelas medias son sus ejes. Si el resultado nos convence visualmente, lo hemos hecho bien.

(sigue)