¿En qué sentido es el tiempo una sucesión infinita? (X)

Recordemos. El sargento (¿o tal vez decurión?) de este cuento organizaba a los infinitos (¿innumerables?) soldados de que disponía a su antojo en dos grupos. Uno lo utilizaba como referencia numérica y les asignaba números naturales. A los del otro grupo les daba unos números ordenables (primos, múltiplos de n, factoriales de n, fracciones...) y jugaba con emparejarlos con la fila de referencia. Unas veces los colocaba según el número de orden del número asignado (y no había problemas), otras según el valor numérico sobre la recta correspondiente (y vaya si lo había) pero en fin, considerando soldaditos puntuales infinitamente pequeños, podría lograrlo incluso con los números fraccionarios.

Con estos números fraccionarios ocurría un fenómeno interesante: su ordenación partía de los números de la forma n/1, que con valores crecientes de n coinciden con los naturales infinitamente crecientes. Pero desde cada uno de ellos descienden valores fraccionarios decrecientes de la forma (n-1)/2, (n-2)/3... hasta llegar a 1/n y saltar a la siguiente hilera, que comenzará con (n+1)/1, para seguir con n/2, (n-1)/3... 1//n+1). Y así sucesivamente.

Las hileras de la ordenación triangular de las fracciones, colocadas sobre la misma recta, van rellenándola, sin llegar jamás a llenarla, aunque el proceso se prolongue indefinidamente.

Mientras en cada hilera su primer número (natural) va creciendo infinitamente con n, a partir de él se inicia una cadena decreciente de números no enteros cada, vez más próximos que termina en 1/n. Y este 1/n decrece infinitamente al crecer n, y tiende al valor cero.

En esta ilustración se muestra el proceso de ordenación de las fracciones. Obsérvese el carácter saltarín, con retrocesos, desde cada n hasta 1/n, seguidos de un nuevo avance hasta n+1, para volver a retroceder...

En paralelo represento los lugares que ocuparán los números en la recta y su orden (sub)oficializado:

Del primero al segundo avanzamos sobre la recta, y desde el segundo retrocedemos al tercero; volvemos a avanzar hasta el cuarto, retroceder al quinto, volver a avanzar hasta el sexto,  para desde él retroceder a los puestos séptimo, octavo y noveno...

Hemos llegado a dos ordenaciones conflictivas: 

• la aritmética, consecuencia de un proceso lógicamente establecido, comprime cada vez más números en puntos de la recta, avanzando cada vez más lejos, y retrocediendo luego desde cada valor entero alcanzado, para acercarse desde él cada vez más al cero. Este es un orden a saltos. Pero es un orden lógico.
• la geométrica, resultado visible de ese proceso, apelotona cada vez más puntos sobre la recta, sin poder colmatarla jamás. Así nunca podremos ordenar todos los puntos. Porque nunca podremos considerar que hay dos puntos contiguos: entre ellos siempre hay más.

 

(sigue)