Perspectiva unificada IV

Capítulo II

Invariantes proyectivos. Proyección de rectas

En cada una de estas entradas enlazo con una parte del libro para descargar en PDF. Ahora toca el turno al capítulo segundo. Para seguirlo todo desde el comienzo, hay que ir aquí.

Si en el capítulo anterior la proyección de las figuras se hizo punto a punto, vamos ahora a abordar lo que ocurre cuando se proyecta una recta sobre un plano.

El punto de vista y una recta objeto que no lo contenga determinan un plano, y la imagen tiene que ser la intersección de ese plano con el de proyección, que es otra recta. Así, la imagen de un recta es otra recta.

Nos ocuparemos de buscar en ambas, punto a punto, su correspondencia proyectiva, esto es, su alineación con el punto de vista. Pero para ello hemos de encontrar un modo de localizar los puntos sobre cada una.

Lo primero es disponer de una base a la que referir la ubicación. Esta base se compone de dos puntos fijos, que llamaremos origen (O) y unidad (U). La distancia entre ambos es de entrada arbitraria, pero será luego nuestra unidad de medida. Situaremos cualquier otro punto X tomándolos como referencia.

Podemos suponer que el punto genérico X es móvil, representando en su trayectoria a todos los puntos de la recta. Para hacer sucesivas mediciones de su posición usaremos un telémetro que podemos situar tanto en uno de los puntos fijos como en el móvil.

Hay entonces dos formas de localizar X, bien desde uno de los puntos fijos, que tomaremos como origen, bien desde el propio móvil.

En el primer caso, luego de medir de una vez por todas la distancia fija OU, mediremos los sucesivos valores de OX. El cociente OX/OU permite localizar el punto mediante la magnitud llamada abscisa. Representemos la recta en el eje horizontal de un sistema de coordenadas cartesianas y la magnitud obtenida x en el otro eje:

Pero también podemos instalar el telémetro en el punto móvil X, tomar las distancias respectivas a O y U y dividir la una por la otra. Se obtiene así la razón simple (XOU)=XO/XU. 

Si la anterior medición era estática, con el aparato de medida fijo, esta otra es dinámica, pero también consigue localizar X.

Si representamos la recta en el eje horizontal y los valores de la razón simple en el vertical, en cada punto el valor está inequívocamente determinado, porque ninguna recta vertical define más de un punto, y ninguna horizontal más de una razón simple.

Cuando el punto X se aleja infinitamente por la izquierda, XO y XU crecen infinitamente, y sus valores, cada vez más parecidos, aproximan el cociente a la unidad. Pero al acercarnos se van diferenciando, siempre con XO<XU, por lo que el cociente es menor que uno, alcanzando el valor cero cuando X alcanza el punto O. 

Para X comprendido entre O y U lo signos de XO y XU son opuestos, y su cociente negativo. En el punto medio se igualan los valores absolutos y la razon simple vale -1. Según X se va acercando a U el denominador XU tiende a cero, y el cociente se dispara a un valor negativo infinito.

A la derecha de U los valores del cociente vuelven a ser positivos y decrecientes desde un valor infinito. Cuando X llega a estar a doble distancia de O que de U la razón simple vale naturalmente dos, y desde ahí sigue disminuyendo al alejarse X por la derecha, tendiendo a un valor uno que no alcanzará jamás.

La curva que representa todo esto es una hipérbola equilátera.

Hasta aquí hemos considerado dos puntos fijos y uno móvil como referencia, pero es interesante ver lo que ocurre si fijamos otro punto de referencia R, obtenemos la razón simple (ROU)=RO/RU, y comparamos esta nueva razón simple con (XOU).

Se obtiene así la llamada razón doble (XROU)=(XOU)/(ROU). O lo que es lo mismo, (XO/XU)/(RO/RU), que también puede escribirse:

(XO·RU)/(XU·RO)=(XO/XU)·(RU/RO)=(XOU)·(RUO)=(XOU)/(ROU)

Pero como el único punto variable es X, esta razón doble tiene para todos los puntos de la recta los mismos valores que la razón simple, multiplicados por el factor constante (RUO)=1/(ROU), que dependerá del lugar en que situemos R.

Importante es localizar para X la posición S en que la razón doble vale -1. En ella las dos razones simples (SOU) y (ROU) toman valores iguales pero de signo opuesto. En tal caso, si uno de los puntos, S, es interior al segmento unidad OU, el otro R es exterior.

Si S se acerca a U desde el interior, lo hará R desde el exterior de OU, por su derecha.Y si se acerca a O lo hará también R, por la izquierda. ¿Qué ocurre entonces cuando S está a medio camino entre O y U?

En ese caso, la única posibilidad de igualar desde fuera las distancias a O y U es alejarse infinitamente, sea por la izquierda o por la derecha.

Cuando la relación entre los pares O,U y R,S (u otro par P,Q cualquiera) satisface ese valor -1 de la razón doble se dice que ambos pares de puntos están armónicamente separados, o que forman una cuaterna armónica.

Pues bien, cualquier relación proyectiva entre rectas, desde cualquier punto de vista, sea propio o infinitamente alejado (impropio) conserva la razón doble entre cuatro puntos cualesquiera que se correspondan en ambas.

Y lo mismo ocurre cuando los puntos de ambas rectas los definen cuatro planos de un haz.

Es muy interesante el caso que relaciona armónicamente el punto medio M del segmento OU con el punto del infinito de su recta. Proyectivamente se obtienen así perspectivas de la recta, que si la proyección es central y no paralela producirán imágenes de los puntos medio e infinito situados más o menos próximos a ambos lados del mismo extremo del segmento OU.

Sentado todo esto, siempre podemos relacionar proyectivamente dos rectas cualesquiera del espacio, aunque no se corten ni sean paralelas, sino que sólo se crucen. Trazando una recta cualquiera que corte a las dos, determinará un plano con cada una de ellas.

Elegido un punto de vista en cada plano, podemos proyectar la primera recta, punto a punto, sobre la recta de intersección de ambos planos, y desde aquí a la segunda recta sobre el plano correspondiente.
  

Y lo que hemos hecho no depende de que la proyección sea paralela o central.

Las proyecciones paralelas conservan tanto las razones simples como las dobles en todos los casos, pero las centrales sólo aseguran el mantenimiento de las dobles.

Para finalizar, veamos la correspondencia proyectiva entre dos rectas de un plano en que hemos localizado un punto origen común, una unidad en ambas y un punto medio en una de ellas.

He aquí un enlace a un programa interactivo que ayudará a comprender mejor el significado de la cuaterna armónica:

http://matematicainteractiva.com/cuaterna-armonica

Nada más por ahora. Si habéis seguido lo que acabamos de ver, el resto de la representación y sus sistemas es pan comido.

(sigue)